¿Cómo encontrar la trayectoria de lanzamiento óptima para un cohete lanzado desde un planeta con atmósfera?

Originalmente hice esta pregunta sobre el intercambio de pila de matemáticas

Como dice el título, estoy tratando de encontrar la trayectoria de lanzamiento óptima para un cohete lanzado desde un planeta con atmósfera (la Tierra) para maximizar la carga útil en órbita. Tengo que hacer un proyecto de física de segundo año y me gustaría evitar poner un pie en un laboratorio, así que estoy tratando de hacer algo de naturaleza más matemática, y si soy honesto, quiero saber cómo jugar Kerbal Space Program. de manera más óptima.

Mi experiencia es que soy un estudiante de segundo año en una universidad que estudia física teórica (más o menos matemáticas y física). He hecho álgebra lineal 1 y 2, mecánica (newtoniana) 1 y 2, cálculo 1 y 2 y algunos módulos de física que no son realmente relevantes. Actualmente estoy haciendo mecánica lagrangiana, análisis real y "ecuaciones de física matemática" que son transformadas de Fourier, (más) cálculo vectorial, ODE y algunas otras cosas. La mayor parte de mi conocimiento del cálculo de variaciones proviene de una breve descripción general que obtuve en mi clase de mecánica lagrangiana. El libro para el módulo de álgebra lineal fue Álgebra de Artin, y para la mecánica lagrangiana los libros recomendados son los volúmenes 1 y 2 de Landau & Lifshitz para dar una idea del nivel (creo que estos 2 serán los más relevantes). Mi nivel relativo a esto es que con esfuerzo puedo hacer las tareas. Sin embargo, lo que realmente quiero de aquí es libros/documentos para leer y algo de ayuda para entender las matemáticas en ellos. Esta es la primera vez que trato de encontrar y leer documentos, por lo que se agradece cualquier ayuda. También es la primera vez que hago una pregunta sobre el intercambio de pilas de matemáticas, por lo que cualquier crítica también es bienvenida.

Al buscar recursos en línea, tuve problemas para encontrar algo que respondiera a mi pregunta. Tuve suerte con el servidor de informes técnicos de la NASA y encontré este artículo: Teren, F.; Spurlock, OF: trayectorias tridimensionales óptimas del vehículo de lanzamiento con restricciones de actitud y tasa de actitud, lo que parece contribuir en gran medida a responder mi pregunta, pero todavía hay algunas cosas que no me quedan claras, como dónde se optimiza la ecuación y las restricciones. viene de. Eso parece provenir de "Stancil, RT; and Kulakowski, LJ: Rocket Boost Vehicle Mission Optimization. ARS J., vol. 31, no. 7, July 1961, pp 935-942". al que se hace referencia en un artículo anterior de Teren y Spurlock que solo considera una versión bidimensional del problema:, pero no he podido encontrar ese documento en línea de forma gratuita. También me he encontrado con una dirección tangente lineal que podría valer la pena mirar, ¿quizás alguien podría arrojar luz sobre esto?

Seré el primero en admitir que no entiendo todo lo que está pasando en estos documentos, así que si me perdí la respuesta a alguna de mis preguntas, me disculpo de antemano. Primero, este documento establece que no considera la fase atmosférica más que el ángulo de patada del impulsor, ya que generalmente uno quiere minimizar las cargas aerodinámicas en el cohete, lo cual tiene mucho sentido. ¿Significa esto que el artículo supone un giro de la gravedad ?con el único par aplicado siendo la gravedad del planeta? ¿O lo resuelve de manera más general y permite un vehículo de lanzamiento que puede permitir una pequeña tasa de sobrepaso? Si permite una pequeña tasa de sobrepaso, ¿debería usar el máximo permitido? No puedo ver por qué la lógica utilizada para mostrar que usas el máximo para las partes optimizadas de la trayectoria tampoco debería aplicarse en la atmósfera. Todavía no he intentado resolver mis condiciones iniciales y finales, pero si alguien quisiera ofrecer algunos consejos para eso, serían muy apreciados. Estoy familiarizado con algunos métodos numéricos, pero tengo la sensación de que voy a tener problemas para resolver esto numéricamente al final, por lo que los consejos o trucos también serían de gran ayuda.

Si has leído todo eso sin rendirte eres un santo, y gracias por tomarte el tiempo de contestar.

Esta es una pregunta muy muy amplia. Cuando veo "óptimo", estoy condicionado a preguntar "¿con respecto a qué?". Si tiene un modelo en forma de un conjunto de ecuaciones diferenciales, un criterio y condiciones de contorno, hay un montón de herramientas para resolver el problema numéricamente. Pero, para mí, esa caja de herramientas llegó en una clase de posgrado de cuarto año...
Con respecto a la carga útil que un cohete dado puede lanzar a una órbita dada. Sé que es una pregunta difícil porque no he encontrado una respuesta satisfactoria, pero todo lo que eso significa es que tengo que esforzarme un poco. Aprecio que la caja de herramientas para resolver esto se encuentre en un nivel de posgrado avanzado, por lo que tengo pocas o ninguna posibilidad de entenderlo, pero aun así agradecería cualquier indicación en la dirección correcta, como libros, sitios web, notas de conferencias, tutoriales, etc.
La NASA usa (o usó) un programa llamado POST (Programa para optimizar trayectorias simuladas). Está cubierto por ITAR, por lo que no puede obtenerlo, pero este documento lo describe con cierto detalle y podría ser de interés: ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nasa.gov/19770012832.pdf
Acabo de hojearlo, pero parece un documento muy interesante, debería ser de gran ayuda. Es una lástima lo de ITAR, pero bueno. Gracias.
¡Debe buscar un control óptimo! Esto le permite tener ciertos costos funcionales que definen qué significa "óptimo" en su caso y luego puede usar el cálculo de variaciones para desarrollar ecuaciones de estado que puede integrar numéricamente que producen una solución óptima basada en la declaración de su problema.

Respuestas (1)

Bienvenido al sitio! Me temo que la respuesta que busca no es la que desea. En pocas palabras, el giro de gravedad óptimo debe calcularse numéricamente, porque el perfil de densidad atmosférica y el campo de velocidad se definen inherentemente de forma numérica en función de las condiciones locales en el momento del lanzamiento. (Está la atmósfera estándar, y luego la corriente en chorro y demás).

Mencionaste que actualmente estás estudiando Lagrangianos y EDO. Esto es perfecto para este problema. En última instancia, el objetivo de un giro de gravedad es minimizar una función de "costo", que definimos como el delta-V total consumido durante el lanzamiento. Si definimos el ángulo de cabeceo del cohete en el tiempo como θ ( t ) , y conoce el perfil de masa y empuje del cohete en el tiempo metro ( t ) , τ ( t ) , puede resolver la ecuación diferencial parcial de segundo orden para las ecuaciones de movimiento.

metro r ¨ = τ ( t ) porque ⁡ ( θ ( t ) ) + metro ϕ ˙ 2 r − metro gramo ( r ) − F arrastrar ( r , r ˙ , ϕ ˙ , θ ( t ) , . . . ) r ^
metro r ϕ ¨ = τ ( t ) pecado ⁡ ( θ ( t ) ) − 2 r ˙ ϕ ˙ − F arrastrar ( r , r ˙ , ϕ ˙ , θ ( t ) , . . . ) ϕ ^

Como estoy seguro de que estás pensando, estas ecuaciones tienen muchos términos, no son lineales (esa molesta ϕ ˙ 2 / r realmente nos convence de las técnicas de resolución estándar) y, en última instancia, se componen de funciones que están definidas numéricamente. La función de arrastre necesita el perfil de densidad atmosférica (como mínimo), junto con el coeficiente de arrastre para 0 AoA. Si desea AoA distinto de cero, arrastre supersónico, etc., bueno, para eso están los puntos suspensivos.

La función de costo está enterrada en estas ecuaciones a través de su elección de metro ( t ) y τ ( t ) , porque esto determina tu impulso específico. En última instancia, imagino que desea minimizar la masa total para un caso inicial, pero puede haber razones para no minimizar la masa. Tome el Saturno V, la primera etapa fue impulsada por RP-1 con un terrible impulso específico de 256 segundos. (En principio) ¿Podrían haberlo hecho más ligero con LH2/LOX y mejores motores? Sí. ¿Fue la ingeniería práctica para hacerlo? No, diseñaron los motores F1 teniendo en cuenta el empuje máximo, para lanzar la segunda etapa y el resto del cohete a una altitud en la que los motores J-2 pudieran operar de manera eficiente.

Dicho esto, hay algunos casos simples en los que alguien (no yo) ya ha hecho su tarea sobre los giros de gravedad en varias condiciones óptimas. Así que los vincularé aquí.

Los perfiles de ascenso (que incluyen el giro de la gravedad, el empuje de los motores, AoA, etc.) se calculan justo antes (<1 día) del lanzamiento utilizando las mejores predicciones y mediciones disponibles de la atmósfera. Naturalmente, todavía hay algún error en estos modelos y, por lo tanto, existe un control de circuito cerrado limitado de las etapas primera, segunda (y posiblemente tercera) para corregir estos errores y lograr la órbita objetivo.

Espero que esto te ilumine y responda un poco a la pregunta. Recomiendo encarecidamente configurar las ecuaciones en Mathematica o un software similar si es posible, y optimizar el perfil de ascenso modificando la función de empuje y ángulo de cabeceo.

No me importa una respuesta numérica, dada la cantidad de restricciones que supuse que tendría que resolverse numéricamente. En sus ecuaciones, supongo que tau es empuje y que m es implícitamente una función del tiempo. En cuanto a minimizar la masa, sería bueno, pero el objetivo es maximizar la carga útil para un cohete dado, ya sea eficiente o ineficiente. Veo algunas cosas que debo agregar a la publicación para que quede más claro, así que lo haré ahora. Supongo que no podría recomendar libros que cubran esto, incluida la fase atmosférica. Todos los que he encontrado han saltado directamente a la fase en órbita.
Sí, tau es thurst y m es una función explícita del tiempo (se conoce la tasa de consumo de combustible). Entonces, si está trabajando con un cohete determinado, esas funciones serían en su mayoría las mismas de trayectoria a trayectoria, pero se pueden hacer variaciones menores para optimizar mejor cualquier giro de gravedad en particular. (Los motores de cohetes pueden ser acelerables hasta cierto punto)
Entonces, ¿he entendido completamente mal lo que intentaban hacer esos documentos que vinculé?
Por lo que he leído, los documentos forman un método matemático para un giro de gravedad estándar dado el rango descendente y las restricciones de cabeceo que proporciona la mayor parte de la maximización de la carga útil, con la mayoría de las maniobras realizadas sobre la atmósfera. Son los recursos correctos para su proyecto hasta donde puedo decir, pero también debe tener en cuenta cuándo se publican (década de 1960). Interpreté su pregunta como un ajuste fino de estos métodos, dada la atmósfera local y las variaciones menores de empuje, donde ahora podemos calcular los resultados en segundos, mientras que esta iteración rápida no estaba disponible en ese momento.
Mis disculpas que no puedo ser de más ayuda. No tengo conocimiento de ningún recurso que considere específicamente maniobrar en la atmósfera. Los documentos vinculados en realidad consideran variaciones cuando están por encima de la atmósfera. Algo que puede ser de ayuda es investigar las quemaduras de larga duración. A pesar de que en su mayoría se ocupan de motores de iones y similares, algunas estrategias de optimización de esos podrían traducirse muy bien en este problema.
Me has sido de mucha ayuda y te lo agradezco. Por lo que puedo decir, la fase atmosférica normalmente no está disponible para la optimización, ya que uno normalmente quiere minimizar la tensión en el vehículo de lanzamiento. Sería bueno poder tener en cuenta las variaciones en el empuje, pero creo que puedo evitar preocuparme por las condiciones atmosféricas locales, ya que no se supone que sea un proyecto muy grande. Un modelo que funcionará para la revisión del realismo de KSP debería hacer el trabajo. Estudiaré las quemaduras de larga duración y probablemente volveré con más preguntas. Gracias por la ayuda una vez más.
¿Cómo encontrar la trayectoria de lanzamiento óptima para un cohete lanzado desde un planeta con atmósfera?
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