Cómo determinar la pérdida de ΔvΔv\Delta v debido a la atracción gravitacional de la tierra

Este es el problema conocido como optimización de la trayectoria de lanzamiento. Ese es un problema complicado que requiere principalmente una simulación numérica. ¡Sin embargo, eso no significa que podamos obtener algunas cifras e ideas útiles a partir de un enfoque analítico!

Para empezar, podemos hacerlo con una estimación inexacta pero utilizable. La suposición errónea es la siguiente: "Nuestro cohete está luchando contra la gravedad durante un tiempo de$T$, por lo que los perdidos$\Delta v=Tg$"

El cohete Atlas está volando por$253s+926s=1179s$, por lo que los perdidos$\Delta v=1179s \cdot g=11500\frac{m}{s}$. eso es mas que el total$\Delta v$del cohete...

Entonces, ¿cuál es el problema? Resulta que la fuerza es una cantidad vectorial y no un escalar. Nuestro cohete en su mayoría no está acelerando en la dirección opuesta directa de la gravedad, de hecho, queremos ganar velocidad normal a la gravedad para alcanzar una órbita.

Si dibujamos algunos vectores de fuerza, podemos ver claramente que la aceleración total es mayor que el valor que obtenemos de la simple resta, dependiendo del ángulo. (Al acelerar hacia abajo, incluso obtenemos una pequeña bonificación de la gravedad).

Complicación 1:$\Delta v$la pérdida depende de la trayectoria

Pero hay más cosas a considerar que esto. Por ejemplo, ¿por qué el cohete ya no tiene que luchar contra la gravedad? Bueno, ha ganado velocidad orbital. Pero la "velocidad orbital" no es una alternancia binaria, todo es una órbita, las más lentas simplemente se cruzan con la Tierra, lo que no es deseable para un satélite.

En cambio, estamos empujando contra una "aceleración vertical" (la dirección, por supuesto, varía mientras estamos en órbita, por lo que estamos viendo esto en un marco de referencia giratorio). Podemos expresar esto a partir de la velocidad orbital circular,$v_c$:

Complicación 2: La aceleración vertical depende de la velocidad

Entonces, una estrategia ideal sería ganar velocidad horizontal lo más rápido posible, con la aceleración vertical suficiente para contrarrestar la gravedad. Sin embargo, esto no es muy útil ya que la resistencia será extremadamente grande y su cohete terminará estrellándose contra la ladera de una montaña.

Un compromiso es comenzar en una posición casi vertical y acelerar siempre en paralelo al vector de velocidad actual. Esto es eficiente ya que la suma de vectores en paralelo da como resultado el vector más largo. Esta trayectoria también tiene la buena propiedad de que la aceleración gravitacional va a convertir lentamente el cohete en horizontal. Con algo de planificación, el cohete termina con una velocidad orbital en la altitud objetivo. Esto se conoce como un giro de gravedad .

Ahora tienes:

• Aceleración horizontal, dependiendo de la gravedad y la velocidad vertical
• Gravedad, dependiendo de la altitud, dependiendo de la aceleración vertical en el tiempo
• ...
• Y una tonelada más.

El sistema resultante de ecuaciones diferenciales es demasiado complicado para resolver correctamente.

Además de eso, debes considerar la atmósfera, ya que eso afecta tu trayectoria (y$I_{SP}$...)

TL; DR Debe usar una simulación numérica.

Entonces, ¿cómo podría implementarse tal simulación? Aquí hay un boceto rápido: (fuente svg en la fuente de respuesta para cualquiera que quiera mejorarlo)

1. Ascenso inicial (rojo). Acelere verticalmente y simule pérdidas por arrastre. La mayoría de ellos deberían estar aquí.
2. Giro por gravedad (azul). Comience a adquirir algo de velocidad horizontal y deje que la gravedad haga girar su cohete. Repita esto para múltiples ángulos para obtener su altitud final preferida. Ignora el arrastre para esta parte.
3. Órbita final (rosa). No se requiere más aceleración.