Velocidad óptima por altitud para el lanzamiento en órbita

Si la velocidad óptima es la velocidad terminal , esta es la fórmula que necesita:

$V_t= \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_d }}$

donde
-$V_t$es la velocidad terminal,
-$m$es la masa del objeto que cae,
-$g$es la gravedad|aceleración de la Tierra debido a la gravedad,
-$C_d$es el coeficiente de arrastre,
-$\rho$es la densidad del fluido a través del cual cae el objeto, y
-$A$es el área proyectada del objeto.

Densidad del aire$\rho$depende de la altitud, por lo que necesita una tabla como la Atmósfera estándar internacional para calcular Vt en función de la altitud.
m, Cd y A dependen de tu cohete.

Aquí hay un gráfico de muestra, basado en un cohete con 3,66 m de diámetro, 100 toneladas de peso y un Cd constante de 0,75:

Altitud en m en el eje X, velocidad terminal en m/s en el eje Y.

Como señaló Russell Borogove, Cd también cambia según su velocidad. Aquí hay un gráfico que muestra cómo cambia:

Desafortunadamente, esto significa que tenemos un ciclo de retroalimentación: si desea viajar a Vt, Vt depende de Cd, que depende de Vt. Entonces, en lugar de una fórmula simple, debe realizar cálculos iterativos para cada altitud.

Pero , la solución es aún más complicada que esto. Hasta ahora, hemos ignorado las pérdidas por gravedad y solo nos hemos fijado en la resistencia. El "Problema de Goddard" hace básicamente la misma pregunta: qué estrategia usar para obtener la máxima altitud de una cantidad fija de combustible para cohetes. Encontré varios documentos que abordan este problema, todos contienen soluciones demasiado complicadas para el alcance de esta respuesta (y para que yo las entienda sin pasar días en ello).
Muchas de las soluciones para el problema de Goddard también contienen simplificaciones (por ejemplo, la suposición de que puede hacer un empuje instantáneo, es decir, descargar X cantidad de masa de una sola vez, en lugar de tener que hacer funcionar los motores durante Y minutos).

Y como observación final, la mayoría de los cohetes no se lanzan con un perfil de velocidad óptimo: todos los lanzamientos que he visto alcanzan Mach 2 muy por debajo de los 10 km.
Esta conferencia contiene una descripción general decente de un enfoque práctico para los perfiles de lanzamiento.

La versión anterior a la 1.0 de Kerbal Space Program tenía un modelo aerodinámico muy malo, que la regla general correcta era mantener las cosas cerca de la velocidad terminal, de lo contrario, corría el riesgo de disminuir significativamente. Las versiones posteriores aumentaron la fidelidad a algo más parecido a lo que se ve. Mantener la velocidad bajo control mientras estás en la atmósfera siempre es una buena idea, sin embargo, ahora es posible viajar a una velocidad muy alta dentro de la atmósfera, como de hecho es posible en la Tierra. Consulte la respuesta de Hobbes para obtener más detalles en la vida real sobre cómo funciona el arrastre.