Cómo encontrar la respuesta de paso de CC del circuito RLC semiparalelo

Circuito RLC semiparalelo

Hola a todos, me encuentro perplejo sobre cómo abordar este problema ya que hay una resistencia en serie con el capacitor para lo que de otro modo es un circuito RLC en paralelo.

En primer lugar, intento encontrar las ecuaciones de respuesta escalonada para i_L(t) y V_c(t).

En lo que se refiere al diagrama, la onda cuadrada de 6 V está ahí para actuar como una fuente de voltaje de CC conmutada.

He estado pedorreando con las leyes de Kirchoff y los DEq, pero no sé cómo configurar nada que encuentre una solución.

Dicho esto, encontré las condiciones iniciales para antes del cierre del interruptor, justo después y las condiciones finales en caso de que se necesiten más adelante.

Antes del cierre del interruptor:

V L ( 0 − ) = 0 V , i L ( 0 − ) = 2 A
V C ( 0 − ) = 0 V , i C ( 0 − ) = 0 A
V R mi q ( 0 − ) = 0 V , i R mi q ( 0 − ) = 0 A

Justo después del cierre:

V L ( 0 + ) = 2.8708 V , i L ( 0 + ) = 2 A
V C ( 0 + ) = 0 V , i C ( 0 + ) = 0.01435 A
V R mi q ( 0 + ) = 2.8708 V , i R mi q ( 0 + ) = 0.50718 A

Condiciones finales:

V L ( ∞ ) = 0 V , i L ( ∞ ) = 3 A
V C ( ∞ ) = 0 V , i C ( ∞ ) = 0 A
V R mi q ( ∞ ) = 0 V , i R mi q ( ∞ ) = 0 A

Dejar

V a
representan la tensión de nodo de los elementos en paralelo. Configurando la ecuación de voltaje de nodo que tenemos

i L + i R mi q + i C , R 2 = 6 − V a 6 + 2

Tenga en cuenta que,

i C , R 2 = V a − V C R 2
y
i R mi q = V a R mi q

Entonces,

i L + V a R mi q + V a − V C R 2 = 6 − V a 6 + 2

Tenga en cuenta que

L d d t i L = V a
entonces pude diferenciar ambos lados y multiplicar por L, para eliminar todas las corrientes. Sin embargo, todavía tengo
V C
que es lo que me impide seguir adelante.

Estoy empezando a pensar que necesito más ecuaciones...

Cualquier ayuda en esto sería muy apreciada.

Respuestas (2)

uno más para ti:

i C R 2 = C d V C d t = V a − V C R 2 = F ( V a , V C ) − − − − ( 3 )

Ahora tienes tres ecuaciones independientes y tres incógnitas ( i L , V C , V a ) para resolverlo todo.

Gracias por la respuesta. entonces desde
C d V C d t = V a − V C R 2
Lo entiendo
R 2 C d V C d t + V C = V a
Sin embargo, cuando sustituyo esto en la ecuación y luego tomo la derivada de ambos lados y la multiplico por L, para eliminar
i L
no parece obtener la misma respuesta que mi simulación PSPICE. Pero puede que haya mezclado algo en el camino. ¿Parece esta la forma correcta de avanzar?
Su forma de resolver es incorrecta porque esta no es una ecuación lineal típica. Son ecuaciones diferenciales y, por lo tanto, las condiciones de contorno también serán importantes. Además, no se puede diferenciar en ambos lados de una ecuación siempre y decir que es verdadera, a menos que la ecuación sea verdadera para todos los valores reales de las variables dependientes. Mejor resuélvelo convirtiendo todo esto en ecuaciones de Laplace.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Sucede que mi respuesta original fue correcta mientras que mi simulación PSPICE fue incorrecta. Resimular el circuito original anterior da los mismos resultados que mi solución analítica. Entonces mi proceso de solución fue realmente válido.

Con la esperanza de que esto ayude a otros como yo, he escrito mi solución y el proceso que usé para obtenerla a continuación.

PASO 0: Identificar el orden de la/s ecuación/es diferencial/es

Dado que este circuito contiene R, L y C, es una EDO de segundo orden.

Nota: puede terminar con un sistema de ODE en lugar de una sola ODE.

PASO 1: Encuentra las condiciones iniciales

Antes del cierre del interruptor. Resuelva tratando el inductor como resistencia cero y el capacitor como una resistencia infinita.

V L ( 0 − ) = 0 V , i L ( 0 − ) = 2 A
V C ( 0 − ) = 0 V , i C ( 0 − ) = 0 A

Justo después del cierre. Resuelva tratando el capacitor como resistencia cero y el inductor como una resistencia infinita. Tenga en cuenta que la corriente a través de un inductor no puede cambiar instantáneamente, ni tampoco el voltaje a través de un capacitor. Así que estos valores son los mismos que los límites de la mano izquierda.

V L ( 0 + ) = 2.8708 V , i L ( 0 + ) = 2 A
V C ( 0 + ) = 0 V , i C ( 0 + ) = 0.01435 A

Entonces tenemos que las condiciones iniciales para i_L son

{ i L ( 0 + ) = 2 i L ′ ( 0 + ) = V L ( 0 + ) L = 28.708

PASO 3: Simplifique el circuito después del cierre del interruptor

Utilice transformaciones de origen y reducciones en paralelo/serie.

ingrese la descripción de la imagen aquí

PASO 4: Use KVL y KCL para obtener el Sistema de Ecuaciones Linealmente Independientes

{ i L + i R mi q + i C , R 2 = 3 (LCC) − V L + V C + R 2 C V C ′ = 0 (KVL)

Tenga en cuenta cualquier identidad útil:

{ V L = L i L ′ i R mi q = V L R mi q = L R mi q i L ′ i C , R 2 = C V C ′

Modifique el sistema de ecuaciones a la menor cantidad posible de variables independientes. En este caso habrá dos variables independientes.

{ i L + L R mi q i L ′ + C V C ′ = 3 (Eq1) − L i L ′ + V C + R 2 C V C ′ = 0 (Eq2)

PASO 5: Eliminación de Variables

Es arbitrario qué variable eliminar, pero como tenemos las condiciones iniciales para i_L, eliminaremos V_C.

Realizamos la operación lineal (Eq2)-R_2(Eq1), entonces tenemos

− L ( 1 + R 2 R mi q ) i L ′ + V C − R 2 i L = − 3 R 2

Reordenando para obtener V_C, tenemos

V C = − 3 R 2 + L ( 1 + R 2 R mi q ) i L ′ + R 2 i L .....(Eq3)

Ahora tomamos la derivada de (Eq3)

V C ′ = L ( 1 + R 2 R mi q ) i L ″ + R 2 i L ′ .....(Eq4)

y sustituimos (Eq4) en (Eq1) para obtener

{ i L ( 0 + ) = 2 i L ′ ( 0 + ) = 28.708 L C ( 1 + R 2 R mi q ) i L ″ + ( L R mi q + C R 2 ) i L ′ + i L = 3

Luego resuelve esta ecuación no homogénea para i_L y vuelve a sustituir esta solución en (Eq3) para obtener V_C. Escribiría la solución, pero es un verdadero desastre de látex.

Cómo encontrar la respuesta de paso de CC del circuito RLC semiparalelo
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v