Respuesta escalonada y constante de tiempo del circuito RC con múltiples capacitores

De hecho, esta es una pregunta interesante, tengo que escribir una explicación muy larga para esto. Así que tengan paciencia conmigo si cometí algunos errores.

Mi enfoque se basa más en lo básico que en Laplace, etc., etc.

Cuando escuchas algo como:

" El voltaje a través de un capacitor no puede cambiar inmediatamente " o

" La corriente en un inductor no puede cambiar inmediatamente ".

Siempre comprenda las suposiciones detrás de estas declaraciones. Son ciertas sí, pero con algunas suposiciones. Por lo general, tendemos a perder ese pequeño asterisco * .. De todos modos :)

Primero, déjame darte dos escenarios simples en los que las dos declaraciones anteriores pueden tirarse. Mira la figura de abajo.

¿Puedes ver que el voltaje a través del capacitor cambió instantáneamente en t=0? Asimismo, la corriente en el inductor.

¿De dónde vienen estas dos afirmaciones? Demos un paso atrás y entendamos esto.

Para un condensador:

$$I(t)=C\frac{dV(t)}{dt}$$ $$V(t)=\frac{1}{C}\int_{-inf}^{t}I(t)dt$$

1. calculemos V(t) en cierto tiempo t0

$$V(t0)=\frac{1}{C}\int_{-inf}^{t0}I(t)dt$$ -- Ec(1)

2. Usando la misma ecuación, calculemos ahora V(t) en cierto tiempo $t0+\Delta{t}$, donde el delta es un instante de tiempo muy pequeño.

$$V(t0+\Delta{t})=\frac{1}{C}\int_{-inf}^{t0+\Delta{t}}I(t)dt$$ -- Ec(2)

3. El cambio de voltaje entre estos dos instantes es la diferencia entre la ecuación (2) y la ecuación (1)

$$V(t0+\Delta{t})-V(t0)=\frac{1}{C}\int_{-inf}^{t0+\Delta{t}}I(t)dt-\frac{1}{C}\int_{-inf}^{t0}I(t)dt$$

$$\Delta{V}=\frac{1}{C}\int_{t0}^{t0+\Delta{t}}I(t)dt$$ Ahora aquí tienes que observar con cuidado, ya que el delta t tiende a 0. Sea I(t) cualquier función que ocurra en nuestra vida cotidiana (exponencial o sinusoidal o rampa, etc.). No importa cuál sea la función I(t), la integral anterior tiende a cero.

$$(lim \Delta{t}->0)\Delta{V}=\frac{1}{C}\int_{t0}^{t0+\Delta{t}}I(t)dt =0$$

De ahí la afirmación " El voltaje a través de un condensador no puede cambiar inmediatamente ". Sí, esta afirmación es absolutamente cierta en la vida cotidiana.

4. Sin embargo, cuando trae funciones especiales como dirac-delta o función de impulso, etc. (con amplitud infinita en un instante, etc., pero área finita debajo de esa curva), que en realidad no ocurren en la realidad pero ocurren en libros de texto y pueden ser imitados en simuladores, etc. La declaración anterior no es cierta.

$$(lim \Delta{t}->0)\Delta{V}=\frac{1}{C}\int_{t0}^{t0+\Delta{t}}\delta(t)dt \neq 0$$

Por lo tanto, cuando permitimos corrientes de impulso, se puede ver fácilmente que el voltaje puede cambiar instantáneamente a través de un capacitor.

También se puede escribir una línea de ecuaciones similar para los inductores y mostrar que cuando permitimos voltajes de impulso, su corriente puede cambiar instantáneamente.

5. Ahora, piense en todos los condensadores como cortocircuitos durante un tiempo muy corto siempre que aplique un cambio instantáneo. En el ejemplo que he citado, puede ver que el condensador que actúa inicialmente como un cortocircuito conduce a una gran corriente instantánea (que es la corriente de impulso que introdujimos sin saberlo), lo que lleva a un cambio instantáneo en el voltaje.

6. Si cambiamos un poco el circuito.

Ahora, aunque el capacitor inicialmente es corto, su corriente aún está limitada porque tiene una resistencia de 1 ohm. Por lo tanto, en este caso, el voltaje en su tapa nunca puede cambiar instantáneamente.

7. En su caso, sin saberlo, está formando un corto a tierra

Esto conduce a una corriente de impulso instantánea, que carga las dos tapas instantáneamente (como si las resistencias no existieran).

Por lo tanto, ve un cambio instantáneo en el voltaje a través de las tapas. - Cap1 en t=0, cargará a vi C2/(C1+C2). - Cap2 en t=0, cargará a vi C1/(C1+C2).

Sin embargo, los voltajes finales a través de la tapa están determinados por la resistencia - Cap1 en t=inf, se cargará a vi R1/(R1+R2). - Cap2 en t=inf, se cargará a vi R2/(R1+R2).

Tienen que pasar de ese voltaje inicial a ese voltaje final con una constante de tiempo de (R1||R2)*(C1+C2) ---- La explicación de esto se puede encontrar en cualquier parte.

La respuesta al escalón se compone de dos exponenciales, de las formas:$A(1-e^{-t/\tau})$y$Be^{-t/\tau}$, por lo que la respuesta en$\small t=0$es distinto de cero.

El TF de este circuito tiene un polo y un cero y, como suele ser el caso, el cero hace que el problema parezca más difícil de lo que realmente es. Hay un 'truco' útil para el análisis del dominio del tiempo para sistemas con uno o más ceros, basado en el hecho de que la diferenciación en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar por 's' en el dominio de Laplace.

Para ilustrar, tome el TF:

$$G(s)=\dfrac{1+as}{1+bs}$$

Esto tiene respuesta de paso:

$$R(s)=\dfrac{1}{s}.\dfrac{1+as}{1+bs}$$

Podemos descomponer el TF:

$$R(s)=\dfrac{1}{s}.\left ( \dfrac{1}{1+bs}+\dfrac{as}{1+bs}\right)$$

La respuesta escalonada del primer término es simplemente:

$$R_1(s)=\dfrac{1}{s}.\dfrac{1}{1+bs}\rightarrow r_1(t)=1-e^{-t/b}$$

y la respuesta escalonada del segundo término es la derivada de$r_1(t)$, multiplicado por$a$, de este modo:

$$r(t)= r_1(t) +a\:\dfrac{d}{dt}r_1(t)=1-e^{-t/b}+a\dfrac{d}{dt}(1-e^{-t/b})=1-e^{-t/b}+\dfrac{a}{b} \:e^{-t/b}$$ lo que da $r(t)=\dfrac{a}{b}$en $t=0$.

Este enfoque ayuda conceptualmente además de ser útil analíticamente. Por ejemplo, demuestra que los ceros del numerador no tienen influencia en la estabilidad absoluta (¡a menos que sean ceros de bucle abierto!), sino que solo aumentan la respuesta natural. Esto se debe a que la derivada de una exponencial estable es, en esencia, la misma exponencial estable.

Además, se puede ver que un cero en la mitad derecha del plano s (es decir, un valor negativo de$a$) puede dar lugar a una respuesta inicial de paso negativo.

lo que muestra que el voltaje a través del capacitor aumenta inmediatamente. ¿Es esto correcto? Si es así, ¿cómo justificamos el aumento inmediato del voltaje a través del capacitor?

Esto demuestra que estás pensando en ello, no solo ingresando números a ciegas. Eso es bueno, pero necesitas pensar un poco más.

Imagina por un momento que las resistencias no están allí. Tiene un divisor de voltaje hecho de solo dos capacitores. Idealmente, el voltaje de entrada aparece en cada tapa, escalado inversamente proporcional a su capacitancia. Entonces, sí, una entrada de paso teórica produce un paso en cada límite.

Con lo que probablemente esté luchando es porque esto requiere una corriente infinita durante un tiempo infinitamente corto. Esto nuevamente muestra que estás pensando. Tenga en cuenta que esto es solo en teoría, donde puede tener cosas como funciones de paso perfecto y funciones delta de Dirac. En el mundo real esto no puede suceder debido a la corriente infinita. Cualquier intento de cambiar el voltaje a través de un límite demasiado rápido requiere tanta corriente que el voltaje no se puede cambiar tan rápido. Además, en ese nivel, los efectos secundarios como la ESR (resistencia en serie equivalente) de la tapa, la resistencia y la inductancia del cable, y similares, comienzan a tener importancia.

En teoría, la práctica es como la teoría. En la práctica, no lo es.