Cómo encontrar la ganancia y el margen de fase de la función de transferencia sin diagrama de Nyquist o Bode

Dada la función de transferencia L(s) como una relación de polinomios de s, sé que podemos encontrar el margen de ganancia (GM) y el margen de fase (PM) usando un diagrama de Nyquist o Bode.

De un diagrama de Nyquist:

  1. Encuentre un punto donde la gráfica de Nyquist de L(jw) cruce el eje x negativo, entonces GM=1/|L(jw)| en ese punto.
  2. Dibuje un círculo desde el origen con radio 1 y encuentre una intersección del gráfico de Nyquist de L(jw) con el círculo unitario. PM es el ángulo más pequeño que se requiere para que el diagrama de Nyquist se gire en el sentido de las agujas del reloj para que ese punto en la intersección toque -1 en el eje x.

De un diagrama de Bode: aquí hay una respuesta .

Pregunta: Digamos que no puedo trazar diagramas de Nyquist y Bode, pero necesito encontrar GM y PM.

  1. ¿Hay alguna manera de encontrar GM y PM exactos?
  2. ¿Hay alguna manera fácil de aproximarlo?
en que formato tienes L(s)? ¿ Como una relación de polinomios so como una tabla de búsqueda de frecuencia frente a ganancia y frecuencia frente a fase o algún otro formato? Por favor, dé una muestra en la pregunta.

Respuestas (1)

Para encontrar el margen de ganancia exacto y el margen de fase, es necesario encontrar las raíces de los polinomios de s = 0 + j ω 1 construido a partir de los polinomios numerador y denominador de la función de transferencia.

Encontrar raíces exactas de polinomios de alto orden no es posible AFAIK. Pero las raíces se pueden encontrar con valores muy precisos usando métodos numéricos . El software de análisis numérico a menudo tiene una rootsfunción que se puede usar para encontrar las raíces numéricamente.

Por ejemplo, para encontrar el margen de fase, la ecuación para encontrar la frecuencia de cruce de ganancia es,

| norte ( s ) | − | D ( s ) | = 0

Dónde norte , D son los polinomios numerador y denominador de la función de transferencia en lazo abierto.

Si se le permite usar matlab, puede usar directamente el allmargincomando si se conoce la función de transferencia o alguna otra representación del sistema.

¿Hay alguna manera fácil?

Probablemente puedas reducir el orden del sistema y hacer que los polinomios sean de menor orden. Pero, si está utilizando una computadora rápida, puede que no valga la pena el esfuerzo.

1 s = σ + j ω y se encuentra en el contorno típico del plano s.

Cualquier libro de texto de introducción a la teoría de control clásica cubrirá los pasos detallados para calcular los márgenes sin dibujar un diagrama. Se reduce a construir el polinomio necesario y luego encontrar sus raíces y luego sustituir las raíces nuevamente en la función de transferencia de bucle abierto.
Quiero formular un problema como: dado L(s) tal que 1+L(s) es estable, para qué valores de k obtendremos 1+k*L(s) también estable. ¿Cuál es el nombre de este tipo de problemas? Quiero encontrar algunas referencias para leer.
Esto es significativamente diferente de la pregunta real formulada. Leer sobre el lugar geométrico de las raíces. Ese método también es numérico para funciones de transferencia de alto orden. Pero bien cubierto en la literatura.
Puede usar el margen de ganancia también para este propósito mencionado anteriormente.
Cómo encontrar la ganancia y el margen de fase de la función de transferencia sin diagrama de Nyquist o Bode
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