Radiación de Hawking de luz blanca

La temperatura equivalente de un agujero negro (visto desde el infinito, ya que la radiación del cuerpo negro se desplazará hacia el rojo a medida que se aleja del agujero negro) está dada por

$$\frac{1}{8\pi M}$$ en unidades naturales. O con todas las constantes allí: $$\frac{\hbar c^3}{8\pi k_BGM}$$

Para la temperatura del Sol de$5778\rm K$, esto corresponde a$2\cdot 10^{19} \rm kg$. O alrededor de 3 millonésimas de la masa de la tierra. Imposiblemente pequeño para un agujero negro, por supuesto.

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El radio de Schwarzschild para el agujero negro sería$31\rm nm$. Como se trata de radiación de cuerpo negro, la potencia debería estar determinada por la ley de Stefan-Boltzmann , por lo que la luminosidad viene dada por:

$$L = 4\pi r^2 \sigma T^4$$

Enchufar esto da una luminosidad total de alrededor de 800 nanovatios. Tan diminuto. Para averiguar el tiempo de vida, podemos establecer una ecuación diferencial:

$$\frac{dM}{dt}=-\frac{L}{c^2}=-\frac{4\pi r^2\sigma T^4}{c^2}$$

Cambiar a unidades naturales para que esto no sea muy largo (tenga en cuenta que$\sigma=\frac{\pi^2}{60}$en unidades naturales) y sustituyendo en$r$y$T$:

$$\frac{dM}{dt}=-\frac{\pi^3(2M)^2\left(\frac{1}{8\pi M}\right)^4}{15}=-\frac{1}{15360\pi M^2}$$

Reorganizando esto e integrando:

$$\int_{M_0}^0M^2dM=-\int_0^t\frac{dt'}{15360\pi}$$

$$\frac{M^3}{3}=\frac{t}{15360}$$ $$t=5120M^3$$

Poniendo las constantes de nuevo en:

$$t=\frac{5120G^2M^3}{\hbar c^4}$$

Para nuestros números iniciales, esto le da$8\cdot 10^{33} \rm yr$. Entonces resulta ser una bombilla de luz extremadamente tenue que estará presente durante un tiempo inimaginablemente largo.

Por diversión: un agujero negro de la masa del edificio Empire State duraría treinta años y comenzaría con una luminosidad de 3,2 petavatios , unas 500 veces el uso de energía del mundo, o 100 bombas nucleares pequeñas por segundo. Y se volvería más brillante durante el período de treinta años.