¿Cómo determinamos la masa de un agujero negro?

Puedes calcular la masa de un cuerpo gravitatorio central de una manera algo similar a la respuesta de Cameron, pero es un poco más complicado. Para situaciones en las que un objeto es mucho más masivo que el otro:

La ley de gravitación de Newton dice que la fuerza gravitatoria entre dos objetos es

$$F_\text{grav} = \frac{GMm}{r^2}$$

dónde$G$es una constante universal,$M$es la masa central,$m$es la masa orbital, y$r$es la distancia entre ellos.

De la mecánica newtoniana, sabemos que la fuerza requerida para mantener un objeto que viaja en una trayectoria circular (también conocida como fuerza centrípeta) es

$$F_\text{cent} = \frac{mv^2}{r}$$

dónde$m$es la masa en órbita de nuevo,$v$es su velocidad y$r$es el radio del círculo.

Todas las letras en los dos escenarios coinciden, y dado que la gravedad es la fuerza centrípeta, igualémoslas:

$$F_\text{grav} = F_\text{cent} \\ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$$

Reorganizar y obtenemos

$$M = \frac{v^2r}{G}$$

Ahora bien, si queremos comparar el Sol y la Tierra con el agujero negro y su satélite,

$$M_\text{sun} = \frac{v_\text{Earth}^2*r_\text{Earth}}{G} M_\text{BH} = \frac{v_\text{sat}^2r_\text{sat}}{G}$$ dividiendo uno por el otro, obtenemos

$$\frac{M_\text{BH}}{M_\text{sun}}=\left(\frac{v_\text{sat}}{v_\text{Earth}}\right)^2\left(\frac{r_\text{sat}}{r_\text{Earth}}\right)$$

MÁS PRÁCTICAMENTE, SIN EMBARGO,

En lugar de usar la mecánica newtoniana, la tercera ley de Kepler se usa más a menudo para determinar la masa de dos objetos que orbitan entre sí. Utiliza cantidades que son más fáciles de medir y se pueden usar sin importar la proporción de las masas de los dos objetos observados.

La Tercera Ley de Kepler (generalizada a partir de su trabajo original) dice que la suma de las masas de dos objetos que orbitan entre sí es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita (piense en el radio) dividido por el cuadrado del período. M+m (es proporcional a) SMA^3/P^2 Haciendo un problema de razonamiento proporcional con las cifras de la Tierra y el Sol (suma de masas = 1 masa solar, el período es un año terrestre, SMA es 1 AU) da el resultado

M+m (expresado en masas solares) = (SMA expresado en AU)^3 / (P expresado en E-año)^2

Digamos que observamos un pequeño objeto orbitando un agujero negro a 5 AU, con un período de 2 E-yr. Entonces M+m = 5*5*5/2*2 = 31,25 masas solares. Si asumimos que el objeto en órbita es prácticamente nada comparado con el agujero negro, entonces el agujero negro tiene 31,25 masas solares.

[EDITAR: Cómo obtener realmente esa información-

Existen muchas técnicas de análisis para tratar de extraer información del semieje mayor y del período a partir de las observaciones.

El caso más simple son las estrellas binarias cercanas, que literalmente podemos ver orbitando entre sí, por lo que podemos medir esas cosas directamente.

Los exoplanetas son en su mayoría invisibles contra el resplandor de sus estrellas madre, por lo que se detectan principalmente por la oscilación que causan en la imagen de la estrella mientras orbitan. Los detalles de esa señal oscilante brindan una gran cantidad de información, parte de la cual se puede usar para extraer el período y la SMA.

Para los objetos densos como las estrellas de neutrones que se orbitan entre sí, la teoría de la relatividad general de Einstein dicta que emitirán radiación gravitacional u ondas en el espacio-tiempo. Esto hace que pierdan energía, lo que los hace más lentos. La sincronización precisa de los pulsos de radiación similares a faros que recibimos de ellos también puede producir lo que necesitamos.

Finalmente, los agujeros negros, especialmente los grandes, tienen un efecto dramático en su entorno. Muchos tienen un disco de material en espiral hacia ellos. El material se calienta a temperaturas extremas y emite mucha radiación, lo que nos permite observarlo. Los modelos del comportamiento de los discos de material dependen de la masa del agujero negro central, por lo que hacer coincidir un modelo con las observaciones dará una estimación de la masa.]

Existen numerosas formas de estimar la masa de un agujero negro; Me limitaré a discutir los métodos más comunes.

(1)

Para los agujeros negros de tamaño estelar, el método principal es encontrarlos en sistemas binarios y medir el movimiento del objeto compañero, generalmente una estrella "normal".

Midiendo la amplitud de la velocidad radial$K_2$y el período orbital de (lo que se conoce convencionalmente como) la estrella secundaria, podemos construir la función de masa binaria , que es una relación entre las masas de los componentes,$M_2$y$M_{\rm BH}$, la inclinación orbital (generalmente desconocida) a la línea de visión,$i$(dónde$i=90^{\circ}$está de canto), y los observables.

$$f_{\rm BH} = \frac{(M_{\rm BH} \sin i)^3}{(M_{\rm BH} + M_{2})^{2}} = \frac{P_{\rm orb} K_2^3}{2\pi G}\tag1$$ Estas mediciones no están exentas de dificultades, ya que la luz del compañero visible puede verse superada por la luz procedente de un disco de acreción de material que se desplaza en espiral hacia el agujero negro. Así es como se descubren muchos de estos sistemas.

Si la información anterior es todo lo que está disponible, entonces solo se puede encontrar un límite inferior para la masa del agujero negro, insertando$\sin i =1$y$M_2 =0$en la ecuación (1) (o use algún otro límite inferior sensible para$M_2$).

Para seguir avanzando, necesita más información sobre la inclinación y la relación de masa de los componentes.$q=M_{\rm BH}/M_2$, tal que

$$M_{\rm BH} = \frac{f_{\rm BH} q (1+q)^{2}}{\sin^{3} i}$$

La información sobre la inclinación puede provenir de sistemas binarios de rayos X donde el disco de acreción alrededor de los agujeros negros emite rayos X que son eclipsados ​​por el secundario. En estos casos, sabemos que la inclinación es alta y un modelado cuidadoso puede arrojar un valor preciso. Esto junto con una buena estimación de$M_2$conduce a una estimación de$M_{\rm BH}$.

Alternativamente, se puede usar la modulación elipsoidal de la curva de luz de la estrella secundaria (por ejemplo, Beekman et al. 1997 ) para restringir simultáneamente$q$y$i$/ La modulación elipsoidal es causada por la distorsión de marea de la estrella secundaria si está en una órbita cercana con un objeto compacto. La estrella se vuelve "elipsoidal" y la cantidad de flujo que ve el observador depende de la fase de la órbita. La amplitud de la modulación depende de$q$y$i$.

(2)

Para los agujeros negros supermasivos también existen varias técnicas. Los más importantes y precisos son probablemente el modelado directo de los movimientos de estrellas resueltas que están en órbita cerca del agujero negro. Esto solo se ha logrado para el agujero negro en el centro de nuestra propia galaxia, pero es un éxito espectacular para la óptica adaptativa en un campo muy concurrido. Véase, por ejemplo , Ghez et al. (1998) ; Gillesen et al. (2017) . Estas mediciones ahora son lo suficientemente precisas como para ver los efectos de la relatividad general en lugar de la gravedad newtoniana en el movimiento orbital (por ejemplo, Parsa et al. 2017 ).

Para galaxias más distantes, las estrellas individuales no se pueden resolver, pero aún se puede usar el movimiento del gas o la dispersión de la velocidad general de las estrellas cerca de los centros de las galaxias para estimar la masa del objeto central. Un ejemplo clásico sería el movimiento del gas en el disco de acreción de la galaxia activa M87. La siguiente imagen muestra medidas de la velocidad del gas en el centro de la galaxia (la escala es de aproximadamente 100 pc de ancho). Las líneas muestran modelos de un disco kepleriano que orbita un objeto masivo central (de Macchetto et al. 1997 ).

(3)

La detección de ondas gravitacionales ha llevado a una nueva forma de medir las masas de los agujeros negros en sistemas binarios cercanos y fusionados. Los dos agujeros negros (los únicos ejemplos hasta ahora son los sistemas binarios BH-BH) en una órbita cercana pierden energía a través de la emisión de ondas gravitacionales y se fusionan en espiral a una velocidad que depende en gran medida tanto del producto como de la suma de sus masas. (ver por ejemplo aquí ). Las ondas se emiten al doble de la frecuencia orbital.

Un modelado detallado de la señal de la onda gravitatoria - la evolución temporal de la frecuencia y la amplitud es capaz de producir las masas de ambos componentes inspiradores - por ejemplo, Abbott et al. (2016) .

Es posible medir la masa de un agujero negro a partir de la velocidad de otros objetos. Si medimos la velocidad de una estrella que orbita un agujero negro y la distancia de su radio de órbita, podemos saber su masa. Por ejemplo, primero ubicaríamos una estrella que viaja a 100 km/s y tiene un radio de órbita de 150 megámetros para poder encontrar la masa de los agujeros negros.

Para hacer esto, primero encontraríamos una masa como la de nuestro Sol y la Tierra. Sabemos que la Tierra está a 149 597 900 km, o aproximadamente a 150 megámetros del Sol (así que este es su radio orbital) y simplemente usando pipodemos calcular qué tan rápido se mueve alrededor del Sol. Para encontrar el orbital circumfrance solo hacemos

pi*149 597 900 = 469 975 664 km (470 megámetros) (será un poco más porque la órbita no es perfectamente redonda)

También sabemos que orbitamos alrededor del Sol cada 365,25 días (alrededor de 31557600 segundos). Para encontrar la velocidad solo hacemos

469.975.664 km / 31557600 s = 14,9 km/s

Debido a que la estrella alrededor del agujero negro tiene la misma distancia de nosotros al Sol, ahora sabemos cómo calcular cuánta masa tiene en comparación con el sol. Para empezar, sabemos que orbita unas 6,7 veces más rápido (100/14,9) y está a la misma distancia. Esto significa que debe tener una masa 6,7 ​​veces mayor que la masa del Sol. La masa del Sol es 1,98892 * 10^30 kg, por lo que si multiplicamos esto por 6,7 podemos encontrar la masa de nuestro agujero negro:

1.98892 * 10^30 * 6 = 1.193352 * 10^31

¡Eso es 1,193,352,000,000,000,000,000,000,000,000 kg!

Pero eso no significa que el agujero negro sea 6,7 ​​veces más grande. De hecho, si el agujero negro que estamos viendo es un agujero negro "promedio", sería 66297333300000000 cm^3.