¿Cómo descubrió la gente la conservación de la energía mecánica?

Históricamente, la conservación de la energía puede haber sido descubierta por Julius Robert Mayer en 1842. Cuando era joven, trató de construir una rueda hidráulica que accionaba un tornillo de Arquímedes para levantar el agua hasta la parte superior de la rueda y mantenerla girando. Encontró que esto era imposible. La lección se quedó con él hasta que más tarde se convirtió en médico y estudió la conversión de alimentos en trabajo mecánico. Dio con una equivalencia entre energía mecánica y energía térmica.

Le siguió James Joule, un inglés que intentó crear un motor eléctrico accionado por una batería que igualaría la eficiencia de un motor de carbón. No tuvo éxito, pero en el camino descubrió que el calor que aparecía en un cable que transportaba corriente era directamente proporcional al trabajo mecánico realizado por una dínamo. Esto condujo a la equivalencia de energía mecánica y calor.

Esta es la historia histórica de Mayer y Joule, y cómo William Thomson y Rudolph Clausius recogieron sus descubrimientos y se convirtieron en la base de una idea de conservación local de la energía: http://galileo.phys.virginia.edu/ clases/152.mf1i.spring02/MayerJoule.htm .

¿Puedo atribuir la conservación de la energía mecánica al poder de las matemáticas, especialmente al cálculo vectorial?

No.

¿Es esta la verdadera historia detrás del proceso durante el cual las personas descubren la conservación de la energía mecánica?

No, la conservación de la energía fue históricamente un largo debate durante siglos.

¿Hay una mejor manera de llegar a la conclusión?

Para eso, debe comenzar con un Lagrangiano, posiblemente con alguna simetría de tiempo, luego aprenda cómo obtener dinámicas del Lagrangiano. Luego descubra que hay una constante asociada con esa simetría en el tiempo, de modo que aunque la dinámica significa que las cosas cambian, hay algo que no lo hace, algo asociado con esa simetría en el tiempo.

Entonces podemos ir un paso más allá. Y preguntarnos por qué el lagrangiano dependía del tiempo cuando dependía del tiempo. Y la respuesta verdaderamente es porque algo más cambió, y si algo está cambiando, entonces tiene su propia dinámica. Entonces, si la mecánica lagrangiana es como es el mundo, entonces debería haber un lagrangiano para el sistema más grande.

Y ahí está. Y ese Lagrangiano determina la dinámica de ese sistema más grande, y luego con la simetría del tiempo, hay una cantidad conservada.

Entonces, cuando había una simetría, indicaba que teníamos un sistema cerrado, que evolucionaba por sí mismo. Cuando el lagrangiano no tenía esa simetría, indicaba una interacción externa y la energía no se conservaba debido a la interacción.

Esta idea de sistema abierto y cerrado de energía e interacciones externas e internas es totalmente clave. Y la idea de que no ha podido describir realmente el sistema total si no se conserva la energía.

Esa es la verdadera historia de la conservación de la energía. Es aspiracional. Se convierte, como la tercera ley de Newton, en un juicio sobre una teoría que, si se encuentra deficiente, hace que la teoría parezca incompleta.

Seguro que podrías tener una fuerza externa pero parecerá incompleto. Y puedes aumentar o disminuir tu energía total pero eso también parecerá incompleto.

Dicho esto: la energía en realidad no se conserva en el mundo en que vivimos.

Cuando incluye campos, todo lo que realmente obtiene es una especie de ley de conservación local para la densidad de energía. Y la conservación local no significa conservación global si tu espacio es plano y delimitado o si no es plano. Y para obtener energía a partir de la densidad de energía, necesitas volumen, por lo tanto, geometría. Y una vez que incorporas la geometría, las cosas se complican más.

En primer lugar, la energía es geométricamente solo una parte de la energía-momento y dividirla en cuatro partes es tan arbitrario como elegir una dirección para un eje de coordenadas. Y además, la energía-momentum en sí misma tiene un flujo además de una densidad. Entonces tienes un tensor de energía de estrés completo para todo.

Y en este punto, la energía potencial finalmente ha tenido una muerte tranquila porque ahora la energía fluye y se asienta en todo el espacio en lugar de almacenarse abstractamente en la idea de que las cosas son parte de un sistema o no.

Entonces no, la energía potencial no es la forma correcta de entender la conservación de la energía. No asigna correctamente a la energía un lugar o un flujo correcto. Puede hacer que parezca que la energía se conserva cuando en nuestro universo la energía no se conserva.