Comprobación de la invariancia de Lorentz

Question

Comprobación de la invariancia de Lorentz

Constantino

Esto parecía a primera vista muy fácil. Pero apareció cierta confusión.

$A$ se mueve hacia la derecha con velocidad $v$ con respecto a $B$ . El tiempo adecuado para $A$ es

t_{a} = t_{b} \sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}

$t_a=t_b\sqrt{1-v^2/c^2}$

y $B$ se mueve hacia la derecha con velocidad $u$ con respecto a $C$ . tiempo adecuado para $B$ es

t_{b} = t_{C} \sqrt{1 - {tu}^{2} / C^{2}}

$t_b=t_c\sqrt{1-u^2/c^2}$

Ahora, $t_a$ puede ser encontrado por $t_c$

t_{a} = t_{C} \sqrt{1 - {tu}^{2} / C^{2}} \sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}

$t_a=t_c\sqrt{1-u^2/c^2}\sqrt{1-v^2/c^2}$

Además, al usar la ley de la suma de velocidades relativistas, se puede encontrar la velocidad relativa de $A$ con respecto a $C$

w = \frac{tu + v}{1 + \frac{tu v}{C^{2}}}

$w=\dfrac{u+v}{1+\dfrac{uv}{c^2}}$

Y definiendo el tiempo adecuado para $A$ por $w$ encontré

t_{a} = t_{C} \frac{\sqrt{1 - {tu}^{2} / C^{2}} \sqrt{1 - v^{2} / C^{2}}}{1 + \frac{tu v}{C^{2}}}

$t_a=t_c\dfrac{\sqrt{1-u^2/c^2}\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+\dfrac{uv}{c^2}}$

que es diferente al anterior.

¿Que esta mal aquí?

Traté de entender esto de la siguiente manera. Pero ahí la pregunta sigue sin respuesta.

Podemos describir el movimiento de $A$ en $C$ (estacionario) y $B$ marcos (en movimiento) utilizando las transformaciones de Lorentz.

t_{C} = \frac{t_{B} + \frac{tu X_{B}}{C^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{{tu}^{2}}{C^{2}}}}

$t_C=\frac{t_B+\frac{ux_B}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ (1).

t_{B}

$t_B$ Este tiempo dilatado parecía a un observador estacionario en

C

$C$ .

x_{B} = v t_{B}

$x_B=vt_B$ la posición de

A

$A$ en

B

$B$ marco. De pie sobre

B

$B$ uno puede escribir

t_{B} = \frac{t_{A}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$t_B=\frac{t_A}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ (2) y reemplazando

t_{B}

$t_B$ en la relación (1) se deriva la relación esperada entre

t_{C}

$t_C$ y

t_{A}

$t_A$

t_{C} = \frac{t_{A} (1 + \frac{tu v}{C^{2}})}{\sqrt{1 - \frac{{tu}^{2}}{C^{2}}} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{C^{2}}}}

$t_C=\frac{t_A(1+\frac{uv}{c^2})}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

La pregunta es si $t_B$ en las ecuaciones (1) y (2) son equivalentes? En la relación (1) es el tiempo dilatado que le parece a un observador estacionario en $C$ marco. En la ecuación (2) es el tiempo propio de $B$ ¿marco?

Respuestas (1)

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Sean E. Lago · Answer 1

Sean E. Lago

$t_a=t_c\sqrt{1-u^2/c^2}\sqrt{1-v^2/c^2}$ Es incorrecto. La fórmula del tiempo adecuado no se puede encadenar así. La razón es un poco sutil - es porque $A$ no está en la misma posición al principio que cuando $t_B$ ha pasado en el $B$ marco. Por eso, necesita toda la maquinaria de la transformación de Lorentz para pasar de $B$ a $C$ . Si encadena dos transformaciones de Lorentz y observa la constante de proporcionalidad para relacionar $t_A$ a $t_C$ obtendrá lo que derivó usando la suma de velocidades.

Sean E. Lago

@Constantin Vea la oración 3 de mi respuesta.

Constantino

Es

t_{b} = t_{c} \sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}

$t_b=t_c\sqrt{1-u^2/c^2}$ correcto en general si los relojes comienzan a funcionar instantáneamente en ambos marcos?

Sean E. Lago

@Constantin Pero el reloj que mide el tiempo adecuado en

A

$A$ no está en

B

$B$ , está dentro

A

$A$ . Por eso, se está moviendo a través

B

$B$ , por lo que no hay un solo reloj en

B

$B$ puede medir cualquier paso del tiempo en

A

$A$ sin alguna noción de que los eventos en diferentes lugares sean simultáneos en un sentido absoluto, y la relatividad tira eso por la ventana. Esa fórmula solo se aplica a la transformación de los tictacs de un reloj que está estacionario en un cuadro a un cuadro en el que se está moviendo.

Sean E. Lago

@Constantin Recomiendo ver esta lista de reproducción , especialmente el video de transformación de Lorentz y el video de contracción de longitud/dilatación de tiempo . En pocas palabras: la fórmula de la que desea depender es un caso especial que solo funciona a veces.

Constantino

t_{B} = \frac{t_{A} + x_{A} \frac{v}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

$t_B=\frac{t_A+x_A\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ y

t_{C} = \frac{t_{B} + x_{B} \frac{v}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}

$t_C=\frac{t_B+x_B\frac{v}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ suponiendo tres marcos inerciales en la misma posición al principio y

v > u

$v>u$ .

A

$A$ y

B

$B$ empieza a moverte Ambos (relojes) en el origen de sus marcos inerciales. Entonces

x_{A} = 0

$x_A=0$ ,

t_{B} = \frac{t_{A}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}

$t_B=\frac{t_A}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ . El reloj

B

$B$ en el origen de

B

$B$ marco

x_{B} = 0

$x_B=0$ ,

t_{C} = \frac{t_{B}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}

$t_C=\frac{t_B}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ .

Constantino

El acontecimiento es el paso del tiempo.

A

$A$ reloj y al comienzo de la medición

t_{A} = t_{B} = t_{C} = 0

$t_A=t_B=t_C=0$ . El propósito es encontrar

t_{C}

$t_C$ conociendo

t_{A}

$t_A$ y

v, u

$v, u$ .

Constantino

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Constantino

E.Lake ¿Estoy comparando las lecturas del reloj que eran cero al principio?

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Constantino

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