Cómo crear una cuadrícula 2D no cuadrada con topología esférica.

Si está tratando de mapear un autómata celular definido en una red plana regular en una esfera, siempre tendrá algunos puntos "defectuosos" donde la red se ve localmente diferente de alguna manera, por ejemplo, por una celda que tiene un número anormal de vecinos o por los barrios superpuestos de forma inusual. Matemáticamente, esto se debe a que el defecto angular total de una esfera (o cualquier poliedro convexo) es 2 círculos completos (es decir,$4\pi$radianes o 720°), mientras que la de un toro o un plano infinito es cero.

Para una red rectangular de 8 vecinos, como en el juego de la vida de Conway, probablemente lo mejor que puedes hacer es tomar seis cuadrículas y construir un cubo con ellas (que luego puedes estirar en una esfera geométrica si quieres). Esto te dará ocho defectos en las ocho esquinas del cubo. Dependiendo de cómo conecte las rejillas en sus bordes, esos defectos pueden ser (al menos) de dos tipos:

• Si la esquina está en el medio de una celda, entonces esa celda solo tendrá seis vecinos en lugar de los ocho habituales.
• Si la esquina está entre celdas, entonces en cada esquina tendrá tres celdas cada una con solo siete vecinos en lugar de los ocho habituales.*

De cualquier manera, el tamaño inusual del vecindario en sí mismo no tendrá un efecto importante en el juego de la vida de Conway: cualquier celda con más de tres vecinos vivos morirá de todos modos. Sin embargo, lo que afectará el comportamiento de la CA es la inusual conectividad local de la red cerca de las esquinas. Esto puede permitir que las esquinas admitan patrones estables u oscilantes no estándar que no serían estables en ningún otro lugar de la red, y también puede destruir cualquier planeador u otros patrones de movimiento que golpeen una de las esquinas.

Por ejemplo, un planeador básico en el GoL de Conway viajará en línea recta a lo largo de una diagonal de la red. Pero en una esquina de un cubo, tres diagonales se unen, y no hay forma de que un planeador que llega directamente a la esquina a lo largo de una de esas diagonales continúe recto; tendría que continuar a lo largo de un borde del cubo, pero eso es ¡imposible, ya que esa es una dirección ortogonal en la red!

Además, incluso si ningún planeador golpea directamente la esquina, pueden ocurrir cosas extrañas en su vecindad. Por ejemplo, es posible que dos planeadores que inicialmente se mueven en trayectorias paralelas pasen una esquina en lados opuestos, giren en direcciones opuestas y choquen, algo que nunca podría suceder en un toroide plano o en un plano infinito.

^{*) Si lo desea, también puede contar constantemente cada una de las tres celdas de las esquinas como su propio vecino diagonal faltante, pero al menos para el GdL de Conway, es probable que sea aún más disruptivo que simplemente dejar a ese vecino sin contar.}

Editar: esta respuesta es incorrecta, como se señala en los comentarios. Lo dejo aquí para que otros no cometan el mismo error.

Pregunta muy interesante! Una idea que me viene a la mente sería tener dos cuadrículas diferentes de las mismas dimensiones, representando hemisferios, e identificar los bordes de las cuadrículas de manera obvia. Así nos damos cuenta de la esfera como un espacio cociente de dos cuadrados disjuntos, en lugar de un solo polígono.

Obviamente, esto no es lo ideal, ya que ya no se vería como una cuadrícula, pero al menos daría una topología esférica.

Lo que creo que estás buscando es la esfera Hexagonal:

Hay una explicación en Red Blob Games sobre este mosaico.

Hay una nota sobre las reglas de los planeadores de Carter Bays: A Note on the Game of Life in Hexagonal and Pentagonal Tessellations en el sitio de Wolfram.

Lo que sugiero que debe hacer primero, es hacer una$2$Versión D en una cuadrícula hexagonal y hacer que la envoltura funcione. No tienes que preocuparte por$3$D, ya que esta cuadrícula será como un "mapa de textura" proyectado en una esfera de árbol en el$3$espacio D. Por ejemplo, todos los puntos del hexágono se pueden proyectar sobre la esfera.