Prueba del Teorema de Curtis-Hedlund: ¿Por qué existe una función μ:AS→Aμ:AS→A\mu\colon A^S\to A tal que τ(x)(1G)=μ(x|S)τ( x)(1G)=μ(x|S)\tau(x)(1_G)=\mu(x_{|S}) para todo x∈AGx∈AGx\en A^G?

Aquí está el Teorema de Curtis-Hedlund y su prueba [los conjuntos$V(\cdot,\cdot)$utilizados en esta prueba se explican a continuación.]:

Mi problema es que no estoy seguro de haberlo entendido correctamente. Así que lo parafraseo y lo reescribo en mis palabras para que puedan ver si lo entendí. ¿Podrías decirme si lo conseguí?

Así es como entiendo la prueba:

Dejar$x\in A^G$ser arbitrario.$\varphi$es continua, lo que significa que para el vecindario$U=\left\{\varphi(x)\right\}$en$A$, hay un barrio$V$de$x$en$A^G$tal que$\varphi(V)\subset U$. porque los conjuntos$V(\cdot,\cdot)$como se define a continuación son una base de vecindad, hay un finito$\Omega_x\subset G$tal que$V(x,\Omega_x)\subset V$. Entonces para$y\in V(x,\Omega_X)$(significado$y_{|\Omega_x}=x_{|\Omega_x}$) es$\varphi(y)\in U$, es decir$\varphi(y)=\varphi(x)$. Mantén esto en mente. Por compacidad es$A^G=\bigcup_{x\in F}V(x,\Omega_x)$por un finito$F\subseteq A^G$. Colocar$S:=\bigcup_{x\in F}\Omega_x$.

Creo que lo entendí hasta aquí?

La siguiente parte no me queda tan clara; De todos modos, así es como lo veo:

Queremos demostrar que existe una función$\mu:\colon A^S\to A$tal que

$$\varphi(x)=\mu(x_{|S})~\forall~x\in A^G.$$ Creo que esto significa que tenemos que demostrar que para cualquier configuración $x\in A^G$el valor $\varphi(x)$sólo depende de la restricción de $x$en $S$. Entonces, el autor de esa prueba anterior toma dos configuraciones $y,z\in A^G$, supone que coinciden en $S$y muestra que para los valores resultantes es $\varphi(y)=\varphi(z)$(usando ese argumento de arriba de que si $y$y $z$coinciden en el conjunto finito $\Omega_{x_0}$entonces $\varphi(y)=\varphi(x_0)=\varphi(z)$).

Me pregunto: ¿No es una restricción suponer que$y$y$z$coincidir en$S$?

Tal vez puedas decirme si mi comprensión de la prueba está bien.

Notación: