Campo complejo de Dirac en la descripción de antipartículas

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Campo complejo de Dirac en la descripción de antipartículas

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Entiendo que la ecuación de Dirac tiene conjuntos de soluciones negativos y positivos y esto contribuye a su cuantificación por una superposición de dos modos de Fourier representados como operadores de creación y aniquilación. ¿Qué pasa con un campo de Dirac complejo para representar campos de antipartículas?

No entiendo por qué un campo real no puede describir las antipartículas solo, ya que fueron las soluciones negativas del campo real de Dirac las que primero provocaron el debate sobre las antipartículas.

una mente curiosa

Um ... ¿qué quiere decir con campos de Dirac "reales" y "complejos"? Los campos de fermiones toman valores en una representación de espín-1/2 del (cubierta del) grupo de Lorentz, no son reales ni complejos en el sentido habitual.

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el campo escalar complejo que describe partículas con carga q y antipartículas con carga -q, ¿cómo se describe a partir de las soluciones del campo de dirac?

una mente curiosa

Si está preguntando por qué no hay campos reales cargados: el cargo necesita un

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ simetría, que los lagrangianos complejos escalares tienen, mientras que los escalares reales no (es solo un discreto

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ allá). Si eso no es lo que está preguntando, escriba qué es "el campo de Dirac" para usted y por qué cree que tiene algo que ver con los cargos de otros campos.

ajmeteli

@ACuriousMind: Schroedinger escribió: "Que la función de onda... pueda volverse real mediante un cambio de calibre no es más que una perogrullada, aunque contradice la creencia generalizada de que los campos 'cargados' requieren una representación compleja". Consulte la referencia (que contiene también la extensión de los resultados de Schroedinger a la ecuación de Dirac) en mi respuesta a continuación.

Respuestas (3)

Campo complejo de Dirac en la descripción de antipartículas

Um ... ¿qué quiere decir con campos de Dirac "reales" y "complejos"? Los campos de fermiones toman valores en una representación de espín-1/2 del (cubierta del) grupo de Lorentz, no son reales ni complejos en el sentido habitual.
el campo escalar complejo que describe partículas con carga q y antipartículas con carga -q, ¿cómo se describe a partir de las soluciones del campo de dirac?
Si está preguntando por qué no hay campos reales cargados: el cargo necesita un $\mathrm{U}(1)$ simetría, que los lagrangianos complejos escalares tienen, mientras que los escalares reales no (es solo un discreto $\mathbb{Z}_2$ allá). Si eso no es lo que está preguntando, escriba qué es "el campo de Dirac" para usted y por qué cree que tiene algo que ver con los cargos de otros campos.
@ACuriousMind: Schroedinger escribió: "Que la función de onda... pueda volverse real mediante un cambio de calibre no es más que una perogrullada, aunque contradice la creencia generalizada de que los campos 'cargados' requieren una representación compleja". Consulte la referencia (que contiene también la extensión de los resultados de Schroedinger a la ecuación de Dirac) en mi respuesta a continuación.

ajmeteli · Answer 1

Como mostré en mi artículo http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (publicado en J. Math. Phys.), en un caso general puede usar una función real en lugar de los cuatro componentes complejos del espinor de Dirac, ya que 3 de los cuatro componentes se pueden eliminar algebraicamente de la ecuación de Dirac, y el componente restante se puede hacer real mediante una transformación de calibre.

andres macaddams · Answer 2

Aquí hay algunos razonamientos para la representación tanto de partículas como de antipartículas por un campo (complejo en general, no solo en el sentido habitual sino también en el sentido de la representación irreducible del grupo de Lorentz).

Todos los procesos QFT están descritos por S-matrix, que se puede escribir en una forma

S_{α β} = ⟨ β | \hat{S} | α ⟩, \hat{S} = \hat{T} {mi}^{i \int {\hat{H}}_{i norte t} (X) d^{4} X} .

$S_{\alpha \beta} = \langle \beta | \hat{S} | \alpha \rangle , \quad \hat{S} = \hat{T}e^{i\int \hat{H}_{int}(x)d^4 x}.$ Aquí hay algunas restricciones en un

{\hat{H}}_{i n t} (x)

$\hat{H}_{int}(x)$ que viene dado por las propiedades primarias de QFT:

$\hat{S}$ debe ser un operador invariante de Poincaré (porque la matriz S es una cantidad covariante de Poincaré, lo cual es una consecuencia de su definición). Es operador invariante de Poincaré solo si $[\hat{H}_{int}(x), \hat {H}_{int}(y) ] = 0, (x - y)^{2} < 0$ (el conmutador cero para intervalos espaciales). Se puede entender fácilmente si usa la expansión de S-operator:
$\hat{S} = \sum_{norte} \frac{i^{norte}}{norte!} \int d^{4} X_{1} . . . d^{4} X_{norte} \hat{T} ({\hat{H}}_{i norte t} (X_{1}) . . . {\hat{H}}_{i norte t} (X_{norte})) .$ $\hat {S} = \sum_{n}\frac{i^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}\hat {T}\left( \hat {H}_{int}(x_{1})...\hat {H}_{int}(x_{n})\right).$ $H_{int}(x)$ es operador invariante de poincaré debido a su definición, $\int d^{4}x$ es también cantidad invariante de poincaré. Pero la operación de ordenamiento temporal de dos puntos $x, y$ es invariante de poincaré solo en un caso de intervalo temporal $(x - y)^{2} > 0$ . Entonces debemos obtener cero conmutador $[\hat{H}_{int}(x), \hat {H}_{int}(y) ]$ .
Debido al principio de causalidad, para intervalos similares al espacio debemos tener $[\hat {H}_{int}(x), \hat {H}_{int}(y)] =0$ también: los operadores deben viajar porque la información sobre la medición no tiene tiempo para viajar desde $x$ a $y$ .

Pero $\hat {H}_{int}(x)$ como objeto covariante de poincaré se construye a partir de los campos como

{\hat{H}}_{i norte t} (X) = \sum_{a yo yo Ψ} \sum_{A, B} F^{A_{1} . . . A_{norte} B_{1} . . . B_{metro}} {\hat{Ψ}}_{A_{1}} (X) . . . {\hat{Ψ}}_{A_{norte}} (X) {\hat{Ψ}}_{B_{1}}^{†} (X) {\hat{Ψ}}_{B_{metro}}^{†} (X) .

$\hat {H}_{int}(x) = \sum_{all \Psi}\sum_{A, B}F^{A_{1}...A_{n}B_{1}...B_{m}}\hat {\Psi}_{A_{1}}(x)...\hat{\Psi}_{A_{n}}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{1}}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{m}}(x).$ Entonces debemos tener

[\hat{Ψ} (X), {\hat{Ψ}}^{†} (y)]_{\pm} = 0, (X - y)^{2} < 0 .

$[\hat {\Psi}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}(y)]_{\pm} = 0, \quad (x - y)^{2} < 0 .$ Esta igualdad es posible sólo si

\hat{Ψ}

$\hat {\Psi}$ -el campo se construye a partir de los operadores

\hat{Ψ} (X) = \sum_{σ} \int \frac{d^{3} pag}{\sqrt{(2 π)^{3} 2 {mi}_{pag}}} ({\hat{a}}_{σ} (pag) {mi}^{- i pag X} {tu}_{σ} (pag) + {mi}^{i pag X} {\hat{b}}_{σ}^{†} (pag) v_{σ} (pag)),

$\hat {\Psi}(x) = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3}2E_{\mathbf p}}}\left( \hat {a}_{\sigma}(\mathbf p)e^{-ipx}u_{\sigma}(\mathbf p) + e^{ipx}\hat{b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)v_{\sigma}(\mathbf p)\right),$ dónde

{\hat{b}}^{†}

$\hat {b}^{\dagger}$ crea las partículas con la masa de

{\hat{a}}^{†}

$\hat {a}^{\dagger}$ partículas y con carga opuesta a

{\hat{a}}^{†}

$\hat {a}^{\dagger}$ partículas

Entonces tenemos la consecuencia: debemos describir las partículas así como las antipartículas por el campo único $\hat {\Psi}$ porque necesitamos la covariante de poincaré y la QFT causal.

Este resultado, por supuesto, se puede aplicar a su caso particular.

Para los fermiones tenemos relaciones de anticonmutación $\{\psi(x),\psi(y)\}=0, x\neq y$ y estos se postulan en la cuantización para encontrar que $a,a^\dagger$ pueden ser vistos como operadores de creación y aniquilación.
@void: su declaración es solo el caso particular del teorema de Pauli, que es el resultado del requisito de covarianza de lorentz y QFT causal. Para más detalles, lea Weinberg QFT vol.1.

Vacío · Answer 3

Consideremos por un momento solo un campo escalar clásico antes de la cuantificación. Para este campo tenemos una descomposición de Fourier:

ϕ = \int \frac{d^{3} pag}{. . .} (a_{\vec{pag}} {mi}^{i pag X} + b_{\vec{pag}}^{*} {mi}^{- i pag X})

$\phi = \int \frac{d^3 \!p}{...} (a_{\vec{p}}e^{ipx} + b^*_{\vec{p}} e^{-ipx})$ Dónde

a_{\vec{p}}, b_{\vec{p}}^{*}

$a_{\vec{p}}, b^*_{\vec{p}}$ son solo números y la compleja conjugación de

b_{\vec{p}}

$b_{\vec{p}}$ es solo una convención. En esta descripción, el campo puede ser real sólo si

a_{\vec{p}} = b_{\vec{p}}

$a_{\vec{p}} = b_{\vec{p}}$ - tal condición siempre nos dará

ϕ^{*} = ϕ

$\phi^* = \phi$ . Bajo cuantización, esto lleva al hecho de que las partículas escalares son idénticas a sus antipartículas.

Por otro lado, si no impusiéramos la condición de campo real, $b_{\vec{p}}^*, b_{\vec{p}}$ conduciría a distintos operadores de creación y aniquilación de antipartículas. Es decir, para cada campo las "soluciones de energía negativa" siempre corresponden a antipartículas y para un campo escalar, podemos cambiar entre partículas/antipartículas por conjugación compleja del campo.

Para un campo de Dirac $\psi$ la estructura de la descomposición de Fourier es más complicada, tenemos que sumar sobre espines y como tenemos un vector columna con cuatro componentes, tenemos que expresar la descomposición en una base determinada:

ψ = \sum_{s} \int \frac{d^{3} pag}{. . .} (a_{\vec{pag}}^{s} {tu}_{pag}^{s} {mi}^{- i pag X} + (b_{\vec{pag}}^{s})^{*} v_{pag}^{s} {mi}^{i pag X})

$\psi = \sum_s \int \frac{d^3 \! p}{...} (a^s_{\vec{p}} u^s_p e^{-ipx} + (b^{s}_{\vec{p}})^* v^s_p e^{ipx})$ donde otra vez

a, b

$a,b$ son solo coeficientes numéricos pero

u_{p}^{s}, v_{p}^{s}

$u^s_p, v^s_p$ son "vectores" de columna de cuatro componentes.

¿Cómo se define siquiera si tal campo es real o complejo? La analogía más cercana del conjugado complejo para objetos de múltiples componentes es la conjugación hermitiana que hace una conjugación compleja de cada componente y revierte el "vector" de columna en una fila. Denotamos esta operación $\psi \to \psi^\dagger$ . Sin embargo, encontramos que la condición $\psi^\dagger = \psi$ no es covariante bajo las transformadas de Lorentz y, además, no restringe las antipartículas del campo. (O más exactamente, nos da una extraña mezcla restringida de partículas y antipartículas)

La condición correcta para la equivalencia partícula-antipartícula es la " conjugación de carga " que requiere

ψ = ψ_{C} = i γ^{2} ψ^{†}

$\psi = \psi_C = i \gamma^2 \psi^\dagger$ Esta condición en realidad nos da

a_{\vec{p}}^{s} = b_{\vec{p}}^{s}

$a_{\vec{p}}^s = b_{\vec{p}}^s$ después de un poco de álgebra y así identifica las partículas y antipartículas. Tal descripción puede usarse para neutrinos y de ninguna manera viola la causalidad o la covarianza.

Sin embargo, como su nombre ya sugiere, un espinor autoconjugado de carga (que da lugar al llamado fermión de Majorana ) no se considera cargado. Una respuesta canónica de por qué esto es así nos diría que se rompería la conservación de la carga.

Creo que esto sería cierto solo para ciertos términos de interacción en el Lagrangiano. Para un campo de Dirac $\psi$ , deberíamos poder construir un Lagrangiano a partir de campos de Majorana $\xi$ y un "anti-campo" de carga opuesta $\chi$ con la sustitución $\psi \to \xi + \chi$ de modo que, por ejemplo, el término de interacción electromagnética sería

(\bar{ξ} + \bar{x}) γ^{m} (ξ + x) A_{m}

$(\bar{\xi} + \bar{\chi})\gamma^\mu (\xi +\chi) A_\mu$ Mediante este proceso, debería ser posible obtener un lagrangiano equivalente al que utiliza el espinor de Dirac sin restricciones. El único argumento por el que no hacemos esto es el hecho de que es claramente poco práctico y poco elegante. Contener tanto la partícula como la antipartícula en un campo tiene mucho más sentido.

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