¿Cómo calculo el tiempo que tardaría una nave espacial que se lanzara desde la Tierra en llegar a otro planeta?

No existe una única duración de viaje posible entre dos planetas en una época fija. Puede elegir una trayectoria de acuerdo con diferentes criterios y luego puede calcular la órbita de transferencia que satisfaga sus restricciones. Una vez que sepa el tiempo t ₁ en el que le gustaría despegar y el tiempo t ₂ en el que le gustaría llegar a su destino, resuelve el problema de Lambert para t ₁ , t ₂ , r ₁ , r ₂ donde r ₁ es el la posición del planeta de origen en t ₁ y r ₂ es la posición del planeta de destino en t ₂. El problema de Lambert es básicamente un problema de valor límite para las ecuaciones de movimiento de la nave espacial en el campo gravitatorio central del Sol.

Como solución a su problema de Lambert, encuentre la trayectoria de la nave espacial en términos de su posición r y velocidad v como funciones del tiempo t . Esto le permite calcular el delta-v requerido para el lanzamiento en el planeta de origen y el delta-v requerido para romper en el planeta de destino:

$$\begin{equation} \Delta{v_L} = |v_s(t_1)-v_{p_1}(t_1)| \end{equation}$$ $$\begin{equation} \Delta{v_B} = |v_s(t_2)-v_{p_2}(t_2)| \end{equation}$$

donde Δv _L es el delta-v requerido para el lanzamiento, Δv _B es el delta-v requerido para romper, v _s (t) es la velocidad de la nave espacial en la época t , v _p (t) es la velocidad del planeta p en la época t , p ₁ es el planeta de origen y p ₂ es el planeta de destino. Todas las velocidades son relativas al Sol. Si su misión implica solo un sobrevuelo en lugar de entrar en una órbita alrededor del planeta de destino o aterrizar en su superficie, no necesita considerar Δv _B .

Puede resultar que uno o ambos de estos delta-vs no sean factibles o sean demasiado costosos con su sistema de propulsión. Por esta razón, las misiones reales se diseñan utilizando algoritmos de optimización que resuelven el problema de Lambert repetidamente para diferentes fechas posibles t ₁ y t ₂ . De esta manera, su sistema de propulsión se enfrenta al problema de imponer restricciones en las ventanas de lanzamiento admisibles.

Un caso particular que es fácil de resolver es la transferencia de Hohmann . Esta es una trayectoria directa muy eficiente energéticamente entre dos órbitas circulares que toma 180 grados alrededor del Sol. En este caso el tiempo de viaje es

$$\begin{equation} \Delta{t} = \pi \sqrt{\frac{(r_1+r_2)^3}{8GM}} \end{equation}$$

donde G es la constante gravitatoria y M es la masa del Sol.

Lo anterior asumió que su propulsión usaba motores químicos que se disparan muy brevemente, pero que proporcionan un delta-v muy alto (a menudo modelado como un cambio instantáneo en la velocidad). Existen alternativas que incluyen sistemas de propulsión de bajo empuje, como motores iónicos y velas solares . El diseño de trayectorias con estos sistemas de propulsión requiere resolver ecuaciones de movimiento más generales que las del problema de Lambert.

Las misiones reales también suelen aprovechar las maniobras de asistencia por gravedad y las maniobras de espacio profundo, que requieren cálculos más complejos, así como algoritmos de optimización, como Evolución diferencial o Optimización de enjambre de partículas , y algoritmos de reducción del espacio de búsqueda como Poda de espacio asistida por gravedad .

Para responder directamente a su pregunta: a menos que especifique qué trayectoria ha seleccionado para su misión entre muchos caminos directos e indirectos infinitos de un planeta a otro, no existe una fórmula simple para el tiempo de viaje. Además, el tiempo de viaje es una variable que tienes cierta libertad para ajustar a medida que se planifica la misión. Para verificar si un tiempo de viaje dado a lo largo de una trayectoria de transferencia directa usando propulsión química es factible, debe resolver el problema de Lambert para sus parámetros y determinar si el delta-vs requerido está dentro de sus capacidades.