¿Cómo agregar dos ondas planas si se propagan en una dirección diferente?

Question

¿Cómo agregar dos ondas planas si se propagan en una dirección diferente?

Olas
Física

usuario1285419

En el curso de pregrado sobre la onda, se establecieron dos ondas armónicas que se propagan en dirección opuesta, luego la onda resultante será una onda estacionaria. En matemáticas, es como

y_{1} = UN pecado (k X + ω t), y_{2} = UN pecado (k X - ω t)

entonces

y = y_{1} + y_{2} = UN pecado (k X + ω t) + UN pecado (k X - ω t) = 2 UN pecado (k X) \cos (ω t)

Estoy pensando en lo que sucedería si tenemos las dos ondas planas propagándose a lo largo de dos direcciones diferentes (por ejemplo, haciendo un ángulo de 60 grados, es decir, las dos ondas están formando). Sé que si ese es el caso, no podemos escribir $k x$ $k x$ $k X$ pero tenemos que considerar el $k$ $k$ $k$ es un vector tal que

y_{1} = UN pecado (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t), y_{2} = UN pecado (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)

Pero si observamos la dirección horizontal (es decir, x) y la dirección vertical (es decir, y), ¿qué podemos decir acerca de la onda resultante a lo largo de xy a lo largo de y? Estoy pensando desde el punto de vista físico, si miramos la dirección horizontal, si las ondas aún se suman a una onda estacionaria porque los componentes x de las ondas se propagan en dirección opuesta. Pero a lo largo de la dirección vertical, los componentes y de las ondas se propagan en la misma dirección, por lo que no hay onda estacionaria. ¿Es eso correcto? Si es así, ¿cómo demostrar eso en matemáticas? El termino $\vec{k} \cdot \vec{r}$ $\vec{k} \cdot \vec{r}$ $\vec{k} \cdot \vec{r}$ $\vec{k} \cdot \vec{r}$ $\vec{k} \cdot \vec{r}$ $\vec{k} \cdot \vec{r}$ $\vec{k} \cdot \vec{r}$ $\vec{k} \cdot \vec{r}$ $\vec{k} \cdot \vec{r}$ es muy confuso!

ja72

Utilizar

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ

\vec{k} \cdot \vec{r} = El | k El | El | r El | \cos θ

dónde

θ

θ

θ

Es el ángulo entre las olas.

BPP

Creo que las 2 ondas deberían ser

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = A \sin (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{e}}_{\vec{k}}

y_{1} = UN pecado (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) {\vec{mi}}_{\vec{k}}

y

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = A \sin (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{e}}_{\vec{q}}

y_{2} = UN pecado (\vec{q} \cdot \vec{r} + ω t + ϕ) {\vec{mi}}_{\vec{q}}

Respuestas (3)

¿Cómo agregar dos ondas planas si se propagan en una dirección diferente?

Utilizar $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = | k | | r | \cos θ$ $\vec{k} \cdot \vec{r} = El | k El | El | r El | \cos θ$ dónde $θ$ $θ$ $θ$ Es el ángulo entre las olas.

David · Answer 1

La pregunta no está clara, pero creo que se puede resumir como "¿pueden formarse ondas estacionarias a partir de ondas planas que se propagan en algún ángulo arbitrario entre sí?"

Una onda estacionaria se entiende más fácilmente en una dimensión y se puede describir mediante la ecuación.

tu = UN \cos (k X) \cos (ω t)

Es una simple identidad trigonométrica de suma de productos, que se puede encontrar en esta página que relaciona la onda estacionaria con las ondas que se propagan en direcciones opuestas.

2 UN \cos (k X) \cos (ω t) = UN [\cos (k X - ω t) + \cos (- k X - ω t)]

En una formulación escalar, es conveniente definir la dirección positiva y negativa de la propagación a través del negativo $ω t$ $ω t$ $ω t$ . Ya que estaremos trabajando en una formulación vectorial con $k$ $k$ $k$ , es más fácil mostrar la dirección a través del signo en $k$ $k$ $k$ . También podría haber una fase arbitraria.

Ahora, para mostrar que algo así como una onda estacionaria podría ocurrir en dos dimensiones (fácilmente generalizadas a 3 dimensiones), es más fácil usar exponenciales complejos para representar las ondas. Sumando las dos ondas (q es el número de onda de la segunda onda):

UN {mi}^{yo (k \cdot r - ω t)} + UN {mi}^{yo (q \cdot r - ω t)} = UN {mi}^{yo k_{y} y} {mi}^{yo (k_{X} X - ω t)} + UN {mi}^{yo q_{y} y} {mi}^{yo (q_{X} X - ω t)}

Si el componente y del número de onda es idéntico para ambas ondas, entonces el componente y se puede combinar con la amplitud para formar una amplitud compleja común entre ambas ondas, con una fase que depende de y.

UN {mi}^{yo k_{y} y} ({mi}^{yo (k_{X} X - ω t)} + {mi}^{yo (q_{X} X - ω t)})

Volviendo a una representación trigonométrica e ignorando la fase dependiente y:

UN [\cos (k_{X} X - ω t) + C o s (q_{X} X - ω t)]

Debería poder reconocer que esta es una onda estacionaria si las componentes x del número de onda son de igual magnitud, pero en dirección opuesta. Esto sugiere que dos ondas planas con fase común, que tienen la misma amplitud de número de onda, de hecho formarán una onda estacionaria cuando se vean dentro de un plano particular.

Entonces, si dos ondas sinusoidales (con la misma magnitud del vector de onda) se propagan en el plano xy y forman 60 grados entre sí, es decir, primero $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ haciendo 60 grados con la x positiva, otra $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ haciendo 120 con la x positiva, ¿qué debería ver si lo visualizo? ¿Debo ver una onda estacionaria en el eje x con la amplitud es A (ya que en el eje x, y = 0, entonces $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ $\cos (k_{y} y) = 1$ . Entonces, ese es el caso, ¿cuál es el $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ $\cos (k_{y} y)$ realmente afectando?
Debes tener cuidado de cómo y cuándo tomas la porción real. Si está utilizando una función compleja para modelar fenómenos reales y tiene una ecuación como (función compleja) x (otra función compleja) = (respuesta compleja), debe tomar la parte real de la respuesta final, y no ninguna de Los pasos intermedios. Cuando multiplica exponenciales complejos, el único efecto es un cambio de fase. No puede crear un cambio en la amplitud como has descrito.
Es bastante confuso cuando explica las cosas en complejo. Entonces, solo quiero saber si tengo dos ondas como la descrita anteriormente, ¿debería ver una onda estacionaria horizontal (a lo largo de x e y = 0)?
Lo siento, mi conclusión original estaba equivocada. Lo he arreglado Verá algo así como una onda estacionaria, siempre que el ángulo entre las dos ondas no sea 0.

Michael Brown · Answer 2

La otra respuesta es buena, pero esto podría ayudarlo a visualizar el resultado. Es fácil producir visualizaciones si tiene acceso a un paquete como Mathematica (también puede hacerlo con python + matplotlib, gnuplot o Matlab o casi cualquier cosa). He generado tramas de dos ondas en 2D, una en positivo $x$ $x$ $X$ dirección y la otra yendo en ángulo $θ$ $θ$ $θ$ relativo a la $x$ $x$ $X$ eje. Las amplitudes, longitudes de onda y frecuencias son las mismas. Aquí está el código:

 wave1[x_, y_, t_] := Sin[x - t]; wave2[x_, y_, t_, \[Theta]_] := Sin[Cos[\[Theta]] x + Sin[\[Theta]] y - t]; frames[\[Theta]_] := frames[\[Theta]] = Table[Plot3D[wave1[x, y, t] + wave2[x, y, t, \[Theta]], {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, PlotLabel -> "\[Theta] = " <> ToString[\[Theta]]], {t, 0, 10}]; Table[Export["twowaves_\[Theta]_" <> ToString[\[Theta]] <> ".gif", frames[\[Theta]]], {\[Theta], 0, 2 \[Pi], 0.5}]

Las parcelas seleccionadas se muestran a continuación. Tenga en cuenta que la suma de ondas se simplifica a

pecado (X - t) + pecado (\cos (θ) X + pecado (θ) y - t) = 2 \cos (\frac{1}{2} X (\cos θ - 1) + \frac{1}{2} y pecado θ) pecado (\frac{1}{2} X (\cos θ + 1) + \frac{1}{2} y pecado θ - t) .

Solo obtienes una onda estacionaria si la dependencia del espacio y el tiempo se separa. Entonces necesitas el $x$ $x$ $X$ y $y$ $y$ $y$ términos en el $\sin$ $\sin$ $pecado$ para desaparecer. Esto requiere $\cos θ = - 1$ $\cos θ = - 1$ $\cos θ = - 1$ $\cos θ = - 1$ $\cos θ = - 1$ y $\sin θ = 0$ $\sin θ = 0$ $\sin θ = 0$ $\sin θ = 0$ $pecado θ = 0 0$ , que tiene el único (hasta $2 π$ $2 π$ $2 π$ ) solución $θ = π$ $θ = π$ $θ = π$ . Entonces, solo obtienes ondas estacionarias si las dos ondas se están propagando en contra. Cualquier otro caso te da una ola de viaje (el $\sin$ $\sin$ $pecado$ término) modulada por una amplitud dependiente del espacio (el $\cos$ $\cos$ $\cos$ término).

Ambas ondas en positivo $x$ $x$ $X$ dirección:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Ola 2 subiendo ligeramente hacia la derecha:

ingrese la descripción de la imagen aquí

La onda 2 va casi 90 grados a la onda 1:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Ola 2 casi opuesta a la onda 1:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Me gustan sus visualizaciones, pero como respuesta, en realidad no se destaca, lo cual es una pena. Algunas explicaciones adicionales de lo que está sucediendo y cómo se relaciona con la pregunta realmente podrían hacer que esta sea una gran respuesta.
También hago una simulación con matlab, pero ¿por qué esta simulación basada en matemáticas no es una onda estacionaria?
Gracias michael Ahora funciona. ¿Puedo preguntar qué versión de Mathica estás usando? El código realmente no funciona en mi Mathica 9. Pero en su lugar trato de usar Animate, funciona pero no se ve bien.
Estoy usando la versión 9 en una computadora portátil de rango medio. Usé ListAnimate antes de exportar los gifs animados. La pantalla en el cuaderno no era muy suave, pero los gifs exportados estaban bien. Mathematica probablemente solo tiene un front end súper pesado para las animaciones, así que prefiero exportar.

Wouter · Answer 3

Lo primero que probablemente debería hacer, solo para evitar confusiones, es cambiar los nombres de sus funciones. Con $y_{1}$ $y_{1}$ $y_{1}$ $y_{1}$ $y_{1}$ y $y_{2}$ $y_{2}$ $y_{2}$ $y_{2}$ $y_{2}$ existe la posibilidad de comenzar a mezclar cosas. Además, el $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ y $\vec{r}$ $\vec{r}$ $\vec{r}$ $\vec{r}$ $\vec{r}$ Los vectores de la primera función deben ser distintos de los de la segunda función. Así que definamos

\begin{aligned} F_{1} (\vec{r}, t) & = pecado (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω t) \\ F_{2} (\vec{r}, t) & = pecado (\vec{q} \cdot \vec{r} - ω t) \end{aligned}

donde he dado el $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ vector de la segunda función el símbolo $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ , solo para evitar tener que usar subíndices dobles más adelante. Tenga en cuenta también que no distinguí entre el $ω$ $ω$ $ω$ 's de ambas funciones, por lo que suponemos que $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $El | \vec{k} El | = El | \vec{q} El |$ . Por último, he bajado la amplitud de la simplicidad de notación.

Escrito de manera diferente, las ecuaciones anteriores leen (supongamos 2D)

\begin{aligned} F_{1} (X, y, t) & = pecado (k_{X} X + k_{y} y + ω t) \\ F_{2} (X, y, t) & = pecado (q_{X} X + q_{y} y - ω t) \end{aligned}

La suma de estas funciones da

\begin{aligned} F_{1} + F_{2} & = pecado (k_{X} X + k_{y} y + ω t) + pecado (q_{X} X + q_{y} y - ω t) \\ = 2 pecado (\frac{k_{X} X + k_{y} y + q_{X} X + q_{y} y}{2}) \cos (\frac{k_{X} X + k_{y} y + ω t - q_{X} X - q_{y} y + ω t}{2}) \\ = 2 pecado (\frac{(k_{X} + q_{X}) X + (k_{y} + q_{y}) y}{2}) \cos (\frac{(k_{X} - q_{X}) X + (k_{y} - q_{y}) y + 2 ω t}{2}) \\ = 2 pecado (\frac{(\vec{k} + \vec{q}) \cdot \vec{r}}{2}) \cos (\frac{(\vec{k} - \vec{q}) \cdot \vec{r}}{2} + ω t) \end{aligned}

Tenga en cuenta que esto se reduce al caso de ondas estacionarias simples si $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ . Puede reescribir esto usando la suma, produciendo (con $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $f = f_{1} + f_{2}$ $F = F_{1} + F_{2}$ )

F = 2 pecado (\frac{(\vec{k} + \vec{q}) \cdot \vec{r}}{2}) \cos (ω t) [\cos (\frac{(\vec{k} - \vec{q}) \cdot \vec{r}}{2}) - bronceado (ω t) pecado (\frac{(\vec{k} - \vec{q}) \cdot \vec{r}}{2})]

A partir de ambas expresiones, está claro que las ondas estacionarias solo son posibles si los vectores de onda son de hecho iguales. Si no, habrá una modulación de la onda estacionaria dada por el factor entre paréntesis en la última ecuación, que es una función de ambos $\vec{r}$ $\vec{r}$ $\vec{r}$ $\vec{r}$ $\vec{r}$ y $t$ $t$ $t$ . La razón por la cual su razonamiento físico falló es debido a nuestra restricción $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $El | \vec{k} El | = El | \vec{q} El |$ . De hecho, la única forma en que podría surgir una onda estacionaria $x$ $x$ $X$ por ejemplo, si $k_{x} = q_{x}$ $k_{x} = q_{x}$ $k_{x} = q_{x}$ $k_{x} = q_{x}$ $k_{x} = q_{x}$ $k_{x} = q_{x}$ $k_{x} = q_{x}$ $k_{x} = q_{x}$ $k_{X} = q_{X}$ , pero porque $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $| \vec{k} | = | \vec{q} |$ $El | \vec{k} El | = El | \vec{q} El |$ esto también debe significar $k_{y} = \pm q_{y}$ $k_{y} = \pm q_{y}$ $k_{y} = \pm q_{y}$ $k_{y} = \pm q_{y}$ $k_{y} = \pm q_{y}$ $k_{y} = \pm q_{y}$ $k_{y} = \pm q_{y}$ $k_{y} = \pm q_{y}$ $k_{y} = \pm q_{y}$ y por lo tanto $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ o $\vec{k} = \vec{p}$ $\vec{k} = \vec{p}$ $\vec{k} = \vec{p}$ $\vec{k} = \vec{p}$ $\vec{k} = \vec{p}$ $\vec{k} = \vec{p}$ $\vec{k} = \vec{p}$ $\vec{k} = \vec{p}$ $\vec{k} = \vec{pags}$ dónde $\vec{p}$ $\vec{p}$ $\vec{p}$ $\vec{p}$ $\vec{pags}$ corresponde al signo menos. Esta $\vec{p}$ $\vec{p}$ $\vec{p}$ $\vec{p}$ $\vec{pags}$ -vector tiene la misma longitud que $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ pero hace un ángulo de $π - θ$ $π - θ$ $π - θ$ $π - θ$ $π - θ$ con lo positivo $x$ $x$ $X$ -eje, si $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ $\vec{q}$ hace un ángulo de $θ$ $θ$ $θ$ .

Si no hubiéramos puesto esa restricción, habríamos tenido que considerar frecuencias distintas $ν \neq ω$ $ν \neq ω$ $ν \neq ω$ $ν \neq ω$ $ν \neq ω$ porque $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / | \vec{k} | = c_{1} = c = c_{2} = ν / | \vec{q} |$ $ω / / El | \vec{k} El | = C_{1} = C = C_{2} = ν / / El | \vec{q} El |$ debe aguantar. Esto habría producido una dependencia de $t$ $t$ $t$ para el seno en la penúltima ecuación también, haciendo que las ondas estacionarias sean imposibles nuevamente, a menos que $ω = ν$ $ω = ν$ $ω = ν$ , devolviéndonos a nuestra restricción. La única salida parece ser si $c_{1} \neq c_{2}$ $c_{1} \neq c_{2}$ $c_{1} \neq c_{2}$ $c_{1} \neq c_{2}$ $c_{1} \neq c_{2}$ $c_{1} \neq c_{2}$ $c_{1} \neq c_{2}$ $c_{1} \neq c_{2}$ $C_{1} \neq C_{2}$ , pero esa no es una situación física.

hola Wouter, gracias por la explicación detallada, a veces me lleva repetir las matemáticas, pero es lo suficientemente bueno. Tengo una pregunta: si tenemos un vector de onda dirigido en algún ángulo con el eje x en el plano xy, tendremos dos componentes $k_{x}$ $k_{x}$ $k_{x}$ $k_{x}$ $k_{X}$ y $k_{y}$ $k_{y}$ $k_{y}$ $k_{y}$ $k_{y}$ como se muestra en las matemáticas. Me pregunto en términos de componente en los ejes xey, ¿la onda seguirá siendo sinusoidal? Si es así, la frecuencia de cada onda componente es $ω$ $ω$ $ω$ ¿además?
Una cosa útil para recordar cuando se trata de averiguar cómo se ve cualquier función a lo largo del $x$ $x$ $X$ - o $y$ $y$ $y$ -eje, es eso $y = 0$ $y = 0$ $y = 0$ $y = 0$ $y = 0 0$ sobre el $x$ $x$ $X$ -eje y $x = 0$ $x = 0$ $X = 0 0$ sobre el $y$ $y$ $y$ -eje. Si pones $y = 0$ $y = 0$ $y = 0$ $y = 0$ $y = 0 0$ por ejemplo en $f_{1}$ $f_{1}$ $f_{1}$ $f_{1}$ $F_{1}$ o $f_{2}$ $f_{2}$ $f_{2}$ $f_{2}$ $F_{2}$ , ves que de hecho sigue siendo una función sinusoidal con frecuencia $ω$ $ω$ $ω$ .
Gracias por explicar la duda sobre la frecuencia. Estoy resolviendo las matemáticas que muestras arriba. Ahí dijiste cuándo $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ , se reduce a una simple onda estacionaria. Estoy pensando que dos vectores de onda iguales no significan que se propaguen en la misma dirección, porque es $\vec{k} / ω$ $\vec{k} / ω$ $\vec{k} / ω$ $\vec{k} / ω$ $\vec{k} / ω$ $\vec{k} / ω$ $\vec{k} / / ω$ decir la velocidad, no la $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ , ¿derecho? Entonces, ¿cuál es el significado físico cuando dijimos $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ ?
Bueno, el significado físico del vector de onda. $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ es que nos dice en qué dirección viaja la onda y nos da información sobre la longitud de onda ( $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $| \vec{k} | = 2 π / λ$ $El | \vec{k} El | = 2 π / / λ$ ) La velocidad de la ola viene dada por $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / / El | \vec{k} El |$ pero su dirección está determinada por $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ $\vec{k}$ . Entonces cuando decimos $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ $\vec{k} = \vec{q}$ de hecho, significa que las olas viajan en la misma dirección y además tienen la misma longitud de onda. Acabo de notar un pequeño error que cometí por cierto. yo tengo $| \vec{k} | ω = c$ $| \vec{k} | ω = c$ $| \vec{k} | ω = c$ $| \vec{k} | ω = c$ $| \vec{k} | ω = c$ $| \vec{k} | ω = c$ $| \vec{k} | ω = c$ $| \vec{k} | ω = c$ $El | \vec{k} El | ω = C$ mientras debería ser $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / | \vec{k} |$ $ω / / El | \vec{k} El |$ . Voy a cambiar eso

¿Cómo agregar dos ondas planas si se propagan en una dirección diferente?

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