Combinar dos puntos de datos con diferentes incertidumbres

Como se explica en los comentarios, para un evento MC dado, los errores$\delta x$y$\delta y$para los dos métodos de reconstrucción A1 y A2 no están correlacionados. Por lo tanto, no se obtiene información adicional mediante el uso de ambas reconstrucciones. Deberíamos usar el mejor.

Ahora, ¿qué significa "mejor"? Como se indica en el OP, para ambas reconstrucciones, las distribuciones de$\delta x$y$\delta y$son gaussianas con media cero. Sin embargo, las desviaciones estándar son diferentes. Suponiendo que para cualquier método de reconstrucción$\sigma_{\delta x} = \sigma_{\delta y} \equiv \sigma$, la mejor estrategia es simplemente elegir el método con el menor$\sigma$. A diferencia de$\delta x$y$\delta y$, el error "distancia"$\delta r \equiv \sqrt{\delta x^2 + \delta y^2}$tiene una distribución que es estrictamente positiva y tiene una media distinta de cero.$^{[a]}$Como se señaló en el OP, A1 y A2 conducen a dos distribuciones diferentes de$\delta r$, cada uno con su propia media (positiva) y varianza. Tenga en cuenta, sin embargo, que la media y la varianza de la distribución de Rayleigh no son independientes (consulte el artículo vinculado a continuación), por lo que realmente solo desea utilizar el método de reconstrucción con la media más pequeña$\delta r$, que es lo mismo que elegir el que tiene la gaussiana más pequeña$\sigma$como se describió anteriormente.

Nuestra declaración anterior de que deberíamos usar el método de reconstrucción que tiene el menor$\sigma$depende críticamente del hecho de que A1 y A2 usan los mismos datos de MC. Sin embargo, OP mencionó que en el experimento real, A1 y A2 usan diferentes observables en el detector. En este caso, nos beneficiamos al combinar los datos de ambos métodos, en esencia porque más datos significan más información. La pregunta entonces es cómo combinar los resultados. Esta es realmente una pregunta muy interesante.

Para un evento de detector dado, obtenemos cuatro números:

$$x_1, \, y_1, \, x_2, \, y_2$$ dónde $x_i$es el $x$coordenada reconstruida por el método Ai, y de manera similar para $y$. Ahora, basándonos únicamente en los resultados de A1, nuestro conocimiento del verdadero $x$la posición es

$$P_{X_1}(x|x_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma_1^2}} \exp \left[-\frac{(x-x_1)^2}{2 \sigma_1^2}\right] \, .$$ Las expresiones para $P_{Y_1}$, $P_{X_2}$, y $P_{Y_2}$son las cosas similares obvias. Ahora lo interesante: la distribución de los $x$la posición del evento, dadas ambas medidas A1 y A2 es $$P_{X_{1+2}}(x|x_1,x_2) = \frac{1}{\mathcal{N}} P_{X_1}(x|x_1) P_{X_2}(x|x_2)$$ dónde $\mathcal{N}$es un factor de normalización.

Tenga en cuenta que si cualquiera de A1 o A2 es mucho mejor que el otro, puede ignorar el peor sin perder mucha precisión.

$[a]$: Por si sirve de algo, la distribución de$\delta r$se llama distribución de Rayleigh .

Para mí, usar la distancia para medir datos bidimensionales es dudoso, especialmente si los eventos están cerca de la posición reconstruida (supuesta distancia 0). Diga si los eventos forman un círculo (el círculo es gaussiano perfecto). La distribución ya no será gaussiana ya que el área azul (en el dibujo) será menor que la amarilla: