Combinación de relaciones causales y de identidad

TL;DR

Lo que puede decir es que, si E2 y E3 son ciertos, y C causa E, entonces C causa E1.

Para diseccionar lo que está pasando, repasemos un poco la teoría de la probabilidad y luego abordemos las sutilezas de su pregunta.

teoría de la probabilidad

Quiere saber si E es cierto o no. Usted sabe que si ha ocurrido C, entonces existe la posibilidad de que también haya ocurrido E. Normalmente escribimos esto como P(E | C) = b para algún número b entre 0 y 1. Lees esta ecuación como "la probabilidad de E dada C es b". Entonces, ahora, si desea saber la probabilidad de que ocurra E, solo necesita la probabilidad de $ C $:

P(E) = P(E | C) P(C) + P(E | no C) ( 1 - P(C))

Tenga en cuenta que este es el teorema de Bayes y es una declaración de correlación , no de causalidad . Distinguir entre correlación y causalidad usando probabilidades es un asunto bastante sutil. Usaré los dos términos libremente, generalmente implicando correlación.

Ahora hay otra forma de llegar a la probabilidad de $E$. Sabes que $E$ es en realidad la combinación de 2 eventos (puedes usar tres pero así es más claro):

E = E_1 \ cuña E_2

Tenemos que distinguir dos casos: los casos donde los 2 eventos son dependientes e independientes. Un ejemplo del primer caso es “Soy una mujer llamada Alex” que es la conjunción de las dos afirmaciones “Soy una mujer” y “mi nombre es Alex”. No es que estas proposiciones no sean independientes: si sé que tu nombre es Alex, podría suponer que eres un hombre, ya que la mayoría de las personas que se llaman Alex son hombres. La probabilidad de que tu nombre sea hombre no es la misma que la probabilidad de que seas hombre, dado que tu nombre es Alex. Tenemos lo siguiente.
Un ejemplo de eventos independientes es obtener cara en mi primer lanzamiento de moneda y cara en el segundo. La probabilidad de obtener cara en el segundo lanzamiento es del 50% independientemente del resultado del primero.
En ambos casos tenemos

P(E) = P( E_2 | E_1 ) P(E_1) = P(E_1 | E_2) P(E_2)

Pero solo en el caso de resultados independientes podemos escribir

P(E) = P(E_1) P(E_2)

Un par de problemas con tu pregunta.

Parece que estás confundiendo enunciados con sus probabilidades. Las declaraciones son oraciones, mientras que las probabilidades son números. Entonces, escribir E = bC no tiene sentido, porque incluso si puede definir lo que significa multiplicar una declaración por un número, probablemente no signifique lo que quiere que signifique, que en cambio es la ecuación perfectamente sensata entre los números P(E) = bP(C).

De manera similar, cuando escribiste E = E_1 * E_2, quisiste decir P(E) = P(E_1)P(E_2). El segundo problema aquí es que esta ecuación solo se cumple si E_1 y E_2 son independientes, o si uno de los dos es igual a 1. De hecho, demostremos rápidamente que esta última cláusula es cierta. Desde antes tenemos

P(E_2 | E_1) P(E_1) = P(E_1 | E_2) P(E_2)

Pero si E_2 es ​​cierto, tenemos P(E_2) = 1. ¡También tenemos P(E_2 | E_1) = 1 ya que E_2 sucede sin importar nada! La ecuación anterior se reduce a:

P(E_1) = P(E_1|E_2)

y por lo tanto:

P(E) = P(E_1|E_2)P(E_2) = P(E_1)P(E_2)

Finalmente, una respuesta

Ahora tienes dos ecuaciones entre números, por lo que puedes aplicarles álgebra y obtener:

bP(C) = P(E_1|E_2)P(E_2)

Entonces como dijimos, si E_2 es ​​seguro escribimos

bP(C) = P(E_1)

Y así tenemos la misma relación entre C y E_1 que teníamos al principio con C y E_2.