¿Hay alguna tensión en un resorte sin masa que conecta dos cuerpos en caída libre en diferentes planos horizontales?

Hay tensión en la primavera. ¡Se extendió y por lo tanto hay tensión! Es el centro de masa que cae con la aceleración.$g$en lugar de cada masa individual. Entonces la ecuacion

$$mg-T=mg$$ es inválido. A medida que las dos masas caen, oscilarán (acercándose y alejándose) y la tensión cambiará.

Llamemos a la distancia caída por masa$A$,$x_A$y que caida por masa B$x_B$la ecuación de movimiento de cada masa está dada por:

$$m \ddot x_A=mg+T$$ $$m \ddot x_B=mg-T$$ $T$es una función de $x_A$y $x_B$, ( $T=k(x_B-x_A-L)$dónde $k$es la constante del resorte, y $L$es la longitud natural) y no podemos suponer que $\ddot x_A=g$o $\ddot x_B=g$. Este tipo de ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales acopladas y se pueden resolver de varias maneras.

La respuesta es que depende de cómo se mueva su masa cargada por resorte inicial. Pero , la parte fascinante (pero no demasiado fascinante una vez que lo expresas así) es que hasta que la onda de compresión de la parte superior interactúe con la parte inferior del slinky, la dinámica de la mitad inferior no cambiará.

Si asumimos que estaba en reposo, esencialmente la masa superior se moverá lo suficientemente rápido como para que el centro de masa se acelere en$9.8 m/s^2$. Cuando alcanza la verdadera longitud de equilibrio de la cuerda sin gravedad, comenzará a acelerar la masa inferior. En este punto, si mirara desde el marco COM, el resorte parecería estar oscilando como lo hace normalmente. Esto se debe a que las oscilaciones que ocurren aquí se denominan frecuencia propia. La otra frecuencia propia (dado que este problema tiene 2 variables independientes) es el movimiento del COM. Con el movimiento del COM y el movimiento de ambas masas sobre el COM tienes toda la información necesaria para reconstruir la dinámica de tus masas.

Una gran demostración de esto es el slinky en este video, que es como un resorte con una longitud de equilibrio de cero:

https://www.youtube.com/watch?annotation_id=annotation_314765&feature=iv&src_vid=eCMmmEEyOO0&v=uiyMuHuCFo4

¿Hay alguna tensión en el resorte?

Dejando de lado las oscilaciones mencionadas por Joseph y Skyler: sí, por la fuerza de las mareas. En situaciones normales esto es tan leve que no es medible, pero está ahí. Ver el gráfico de potencial gravitatorio en Wikipeda:

^{Imagen CC BY-SA 3.0 de AllenMcC, ver Wikipedia Commons}

Podría derivar esto colocando relojes ópticos a lo largo de una porción ecuatorial del espacio a través y alrededor de la Tierra, y luego trazando las frecuencias de los relojes. La pendiente de la gráfica o primera derivada del potencial se relaciona con la fuerza de gravedad. Donde es más empinada, la fuerza de gravedad es mayor. La curvatura de la trama se relaciona con la fuerza de marea. Si bien es leve, esta segunda derivada del potencial está relacionada con el tensor de curvatura de Riemann y se dice que es la característica definitoria de un campo gravitacional, porque sin él, su trama no puede desviarse del plano y nivelarse en el medio. Si su parcela fuera toda plana y horizontal, no tendríaun campo gravitatorio. Entonces, aunque leve, la fuerza de marea está ahí. No lo notarías si tus masas y resortes cayeran en una habitación, pero lo notarías si estuvieran cayendo en un agujero negro estelar. La espaguetificación ocurriría:

"En astrofísica, la espaguetificación (a veces denominada efecto de fideos) es el estiramiento vertical y la compresión horizontal de objetos en formas largas y delgadas (como espaguetis) en un campo gravitatorio no homogéneo muy fuerte; es causado por fuerzas de marea extremas. En los casos más extremos, cerca de los agujeros negros, el estiramiento es tan poderoso que ningún objeto puede resistirlo, sin importar cuán fuertes sean sus componentes".