Campo de Dilatón y ruptura de simetría de escala

el dilaton$\sigma$es el bosón de Goldstone de invariancia de escala. Transformaciones de escala$x\rightarrow x/\lambda$se generan de forma no lineal, por ejemplo

$$\sigma(x)\rightarrow \sigma(\lambda x)+f \log\lambda\,,\qquad \lambda>0$$ dónde $f$es la constante de decaimiento del dilatón (ver más abajo). Una teoría de campo eficaz para este bosón de Goldstone se puede escribir fácilmente con el siguiente truco descrito, por ejemplo, en este artículo muy agradable . En particular, definir $\chi(x)=f e^{\sigma(x)/f}$de modo que bajo la transformación de escala $\chi$se comporta como un campo de dimensión de escala $1$ $$\chi(x)\rightarrow \lambda\, \chi(\lambda x)\,.$$ Con este campo a mano ahora puedes construir tu lagrangiano invariante de escala que describe la teoría efectiva del dilatón: es una expansión en derivadas $\mathcal{L}(\chi)= \sum_{n} \mathcal{L}^{(2n)}$donde el lagrangiano $\mathcal{L}^{(n)}$es $$\begin{equation} \mathcal{L}^{(2n)}=\sum_{m\geq 0} \frac{a_{n,m}}{(4\pi)^{2n-2}f^{2n-4}}\frac{\partial^{2n}\chi^m}{\chi^{2n+m-4}} \end{equation}$$ donde las derivadas se insertan de todas las formas posibles entre las $\chi^m$. La lógica es escribir todos los operadores con dimensión de escala 4 para que la acción $S=\int d^4 x \mathcal{L}$será invariante de escala (dado que $d^4 x\rightarrow \lambda^{-4}d^4 x$). Básicamente puedes pensar en $\chi$como compensador conforme: construya un invariante de Lorentz y divídalo entre suficientes potencias de $\chi$para hacer de dimensión 4. Observe que en su lugar se permite un término sin derivadas, contrario a los habituales bosones de Goldstone de simetrías internas: $\mathcal{L}^{(4)}=(4\pi)^2a_{0,0}\chi^4$.

Además, si el dilatón no es el único estado de luz en la teoría efectiva que queda por la ruptura espontánea de la simetría, otros términos que parecen romper la invariancia de escala deben compensarse con las inserciones de Goldstone para que la dinámica sea invariante (mientras que el los estados de la teoría no). Por ejemplo, dado que mencionó QCD, uno podría preguntarse si la evolución de RG proviene de la ruptura espontánea de la invariancia de escala. Algunas partículas que contribuían a las funciones beta (que era cero en una teoría invariante de escala continua) se vuelven masivas después de la ruptura espontánea de la simetría, luego se desacoplan y no contribuyen a$\beta$más, dejando de hecho un desequilibrio por el cual$\beta$comenzar a correr desde la escala de simetría que se descompone a escalas de energía más pequeñas. En la práctica se sabe que el acoplamiento corre logarítmicamente desde la escala$f$de simetría que se descompone en una escala IR arbitraria$\mu_{IR}$

$$\mathcal{L}_{gauge}=-\frac{F^2_{\mu\nu}}{4g^2(\mu_{IR})}=-\frac{F_{\mu\nu}^2}{4}\left[\frac{1}{g^2(\mu_{UV})}+\frac{b_{IR}}{(4\pi)^2}\log\frac{f}{\mu_{IR}}\right]$$ Pero la escala $f$apareció espontáneamente y luego necesita ser compensado por la inserción de dilatación para restaurar la invariancia de la escala, $f\rightarrow f e^{\sigma(x)/f}=\chi(x)$, de modo que uno puede leer inmediatamente el acoplamiento entre los bosones de norma y el dilatón $$\begin{align} \mathcal{L}_{gauge} & \rightarrow -\frac{F_{\mu\nu}^2}{4}\left[\frac{1}{g^2(\mu_{UV})}+\frac{b_{IR}}{(4\pi)^2}\log\frac{f e^{\sigma(x)/f}}{\mu_{IR}}\right]\\ =& \mathcal{L}_{gauge}-\frac{b_{IR}}{(4\pi)^2 f}\sigma(x)F_{\mu\nu}^2\,. \end{align}$$ Como puede ver, el dilatón se acopla al $\beta$función. Análogamente, si se supone que surge un término de masa debido a la ruptura espontánea de la simetría de la invariancia de escala, debe compensarse con la inserción de dilatación. Por ejemplo $$\begin{equation} m\bar{\psi}\psi\rightarrow \frac{m}{f}\chi(x)\bar{\psi}\psi=\frac{m}{f}\bar{\psi}\psi\left[f+\sigma(x)/f+\ldots\right]. \end{equation}$$ En general, cualquier operador $\mathcal{O}(x)$en el lagrangiano con dimensión de escala $\Delta\neq 4$será compensado por inserciones de dilatación para restaurar la invariancia de escala $$\mathcal{O}(x)\rightarrow \frac{\chi}{f}^{4-\Delta}(x)\mathcal{O}(x)=\mathcal{O}(x)\left[1+(4-\Delta) \sigma(x)/f+\ldots\right]$$ En otras palabras, el acoplamiento de dilatón a cualquier campo es proporcional a la dimensión de escala $4-\Delta$. De hecho, en el caso del campo de calibre, la función beta es proporcional a la dimensión anómala. Uno puede mostrar todo el resultado también de otra manera: los bosones de Goldstone se acoplan a la derivada de la corriente que genera la simetría espontáneamente rota. En este caso, el dilatón se acopla a la corriente de dilatación. $D^\mu$como $$\int d^4x \frac{1}{f}\partial_\mu\sigma D^\mu=-\int d^4x \frac{\sigma(x)}{f} \partial_\mu D^\mu =-\int d^4x \frac{\sigma(x)}{f} T_\mu^\mu$$ dónde $T_\mu^\mu$es la traza del tensor energía-momento que contiene efectivamente los operadores con dimensión $\Delta\neq 4$y acoplamiento dado por las dimensiones 'anómalas' $\propto 4-\Delta$. Se pueden encontrar muchos más detalles en el documento mencionado anteriormente y en la referencia que contiene.