Cambio en la entropía al mezclar agua a diferentes temperaturas.

La conclusión es que el agua caliente pierde calor a alta temperatura, lo que genera un pequeño cambio de entropía negativo, mientras que el agua fría gana calor a baja temperatura, lo que genera un alto cambio de entropía. El cambio de entropía neto es positivo. Esto lo podemos ver explícitamente:

En cualquier instante, el cambio infinitesimal en la entropía del sistema es

$$dS=\frac{dQ_H}{T_H}+\frac{dQ_C}{T_C},$$ dónde $dQ_H<0$y $dQ_C>0$son el calor intercambiado por el agua fría y caliente respectivamente. Las temperaturas correspondientes son $T_H$y $T_C$. Desde $$|dQ_H|=|dQ_C|\equiv dQ>0,$$ podemos escribir $$dS=dQ\left(\frac{1}{T_C}-\frac{1}{T_H}\right)=dQ\left(\frac{T_H-T_C}{T_HT_C}\right)>0.$$ En cualquier instante la temperatura del agua caliente es mayor que la temperatura del agua fría. Entonces el $dS$anterior siempre es positivo y el proceso es irreversible en cualquier estado intermedio.

Para obtener el cambio de entropía de un sistema que experimenta un proceso irreversible, el primer paso es olvidarse por completo del proceso irreversible real y, en su lugar, diseñar un proceso reversible que lleve al sistema entre los mismos estados de equilibrio inicial y final. Eso es lo que se entiende por$dq_{rev}/T$. El proceso reversible que idees no tiene por qué tener ningún parecido con el proceso irreversible real. En el caso de las masas m de agua caliente y fría, el estado inicial es Th y Tc, y el estado final es (Th+Tc)/2. El proceso reversible que idearía sería separar las dos masas iniciales y luego someter a cada una de ellas por separado a una secuencia continua de depósitos a temperatura constante que van desde su temperatura inicial hasta (Th+Tc)/2, dejando que la transferencia de calor con el los reservorios ocurren muy gradualmente para cada uno. El cambio de entropía para la masa caliente sería

$$\Delta S=mC\ln{\left[\frac{(T_h+T_c)/2}{T_h}\right]}$$ donde C es la capacidad calorífica del agua. Del mismo modo, para la masa fría, $$\Delta S=mC\ln{\left[\frac{(T_h+T_c)/2}{T_c}\right]}$$ Entonces, para el sistema combinado, $$\Delta S=mC\ln{\left[\frac{(T_h+T_c)^2}{4T_hT_c}\right]}$$ Este cambio de entropía siempre es mayor que cero.

Desde un punto de vista estrictamente basado en fórmulas, el cambio de entropía es la transferencia de calor dividida por la temperatura sobre la cual ocurre la transferencia de calor. La transferencia de calor es claramente la misma para ambos volúmenes, pero positiva para el volumen frío y negativa para el volumen caliente (el calor fluyó del volumen caliente hacia el volumen frío), pero la temperatura promedio sobre la cual ocurre es menor para el volumen frío. (pasó de frío a equilibrio) que para el volumen caliente (que pasó de caliente a equilibrio), por lo que la transferencia de calor positiva se divide por un número menor que la transferencia de calor negativa, por lo que el cambio de entropía total es positivo.

Desde el punto de vista de la mecánica estadística, claramente hay más configuraciones de las moléculas de agua que se asemejan al estado final que al estado inicial. En el estado inicial, las moléculas de diferente energía promedio están unidas en volúmenes separados, mientras que en el estado final, todas las moléculas tienen la misma energía promedio y son libres de moverse a cualquier lugar dentro del volumen total.

Intuitivamente, considere que sería extremadamente improbable que el estado final evolucionara espontáneamente al estado inicial.

Y en el sentido más general, la entropía es una medida de qué tan cerca está un sistema del equilibrio. El estado inicial no está en equilibrio y el estado final sí.

Mezclar el agua a diferentes temperaturas es un proceso irreversible, ya que una vez que las mezclas, obtienes una temperatura promedio para el sistema y no puedes deshacer el proceso sin hacer trabajo en el sistema.

Postulado de la entropía: si ocurre un proceso irreversible en un sistema cerrado, la entropía S del sistema siempre aumenta.

Esto se debe a que antes de mezclar el agua, podría haber realizado trabajo con el agua a alta temperatura; después de mezclar, puede realizar menos trabajo porque tiene menos energía para usar.

La entropía es un concepto engañoso al principio, pero con un pensamiento riguroso se vuelve más y más intuitivo.

Cuando mezclas agua fría y caliente, se vuelven inseparables en un sistema cerrado (cerrado a la energía... todavía podemos cambiar el volumen). Imagínese poner una etiqueta en cada molécula de agua fría y luego seleccionarlas todas después de mezclarlas con el agua caliente. Tendrías que suministrar bastante energía para filtrar todas las moléculas y separarlas. (La segunda ley se aplica a los sistemas "cerrados", lo que significa que para aplicar esto correctamente no podemos agregar energía a un sistema y, por lo tanto, filtrar y separar las moléculas rompe la segunda ley, ya que implica abrir el sistema)

Hay un par de formas de ver que la entropía del sistema total aumenta.

La primera es simple: cada volumen de agua inicialmente separado tiene un volumen mayor para explorar después de la mezcla. Por lo tanto, la entropía aumenta. Este argumento se aplica mejor para 2 sistemas de agua a la misma temperatura.

La segunda realización es que la distribución maxwell-boltzman (MB) de las velocidades de las moléculas es asimétrica. Cuando mezcla dos distribuciones de MB de diferentes velocidades promedio, la velocidad promedio de la mezcla resultante está limitada por las velocidades promedio de las dos mezclas iniciales.

Sin embargo, el número de moléculas más lentas y más rápidas en la mezcla no se sumará geométricamente. La distribución asimétrica tendrá una "forma" diferente a las dos distribuciones iniciales. Por lo tanto, la entropía aumenta después de mezclar dos temperaturas.

No estoy del todo seguro, pero creo que estás pensando en la entropía como una adición vectorial o una conservación.

Es decir, la entropía de caliente + entropía de frío = entropía de (caliente + frío)... esto no es cierto en general