Cambio de presión debido a que el ventilador extrae aire de una habitación no hermética

Hoy se me ha presentado el siguiente problema:

Supongamos que un$100\mathrm{cfm}$ventilador está empujando el aire fuera de una habitación grande que es hermética a excepción de un$10 \mathrm{cm}^2$agujero. La presión del aire fuera de la habitación es$101.3\mathrm{kPa}$y la atmósfera está formada por$80\%$nitrógeno y$20\%$oxígeno. Todas las temperaturas son$300\mathrm{K}$. ¿Cuál es la presión de equilibrio dentro de la habitación?

Creo que he dado suficiente información para determinar la presión resultante. Mi inclinación es adoptar un enfoque ingenuo de mecánica estadística para el problema. Esto me lleva por el siguiente tren de pensamiento:

• Las partículas se distribuyen uniformemente dentro y fuera de la habitación, con un metro cúbico que contiene$N_i=\frac{P_i}{k_BT}$y$N_o=\frac{P_o}{k_BT}$moléculas respectivamente, donde$P_i$es la presión en el interior y$P_o$la presión exterior.
• Las velocidades se distribuyen simétricamente y satisfacen una distribución de Boltzmann, por lo que para un tipo fijo de molécula$M$la distribución de$v_z$, el$z$-coordenada de la velocidad al cuadrado, es $$D_M(v_z)=\int_{S^2}\mathrm{exp}\left(\frac{-m_Mv_z^2}{2k_BT\cos\theta^2}\right)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\phi$$ dónde$m_M$es la masa de la molecula$M$.
• El número de moléculas de$M$que golpean un área$A$con el tiempo$t$desde adentro es $$\int_0^\infty Ax_MN_i\int_{d/t}^{\infty} D_M(v_z)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d$$ dónde$d$denota la distancia a lo largo de la$z$-eje de la molécula desde el área y$x_M$denota la fracción de todas las moléculas que son$M$. Del mismo modo, el número de moléculas de$M$que golpean un área$A$con el tiempo$t$desde afuera es $$\int_0^\infty Ax_MN_o\int_{d/t}^{\infty} D_M(v_z)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d.$$
• La diferencia entre estos dos, sumados para oxígeno y nitrógeno, debe ser igual al número de moléculas de$M$eliminado por el ventilador, que es$.0472\cdot N_it$.

Así tenemos

$$.0472\cdot N_it=A(N_i-N_o)\int_0^\infty \int_{d/t}^{\infty} \left(x_{N^2}D_{N^2}+x_{O^2} D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d$$ entonces resolviendo para $N_i$obtenemos $$\begin{align} N_i &=\frac{AN_o\int_0^\infty \int_{d/t}^{\infty} \left(x_{N^2}D_{N^2}+x_{O^2} D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d}{A\int_0^\infty \int_{d/t}^{\infty} \left(x_{N^2}D_{N^2}+x_{O^2} D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d-.0472t}\\ &=\frac{.1\mathrm{m}^2\cdot\frac{101.3\mathrm{kPa}\cdot \mathrm{m}^3}{1.38e-23 \mathrm{J}/\mathrm{K}\cdot 300\mathrm{K}}\int_0^\infty \int_{d/1\mathrm{s}}^{\infty} \left(.8D_{N^2}+.2 D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d}{.1\mathrm{m}^2\int_0^\infty \int_{d/1\mathrm{s}}^{\infty} \left(.8D_{N^2}+.2 D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d-.0472\mathrm{s}}\\ &=\frac{2.45e24 \mathrm{m}^{2}\int_0^\infty \int_{d/1\mathrm{s}}^{\infty} \left(.8D_{N^2}+.2 D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d}{.1\mathrm{m}^2\int_0^\infty \int_{d/1\mathrm{s}}^{\infty} \left(.8D_{N^2}+.2 D_{O^2}(v_z)\right)\mathrm{d}v_z\mathrm{d}d-.0472\mathrm{s}}\\ \end{align}$$ que probablemente podría evaluar usando Mathematica si mi escritorio funcionara, pero lamentablemente no es así. A partir de ahí sería trivial calcular $P_i$.

Mi pregunta es si mi razonamiento hasta este punto es correcto y si hay algún factor que haya omitido. Además, ¿hay una manera más fácil de calcular$P_i$?