Cálculo del presupuesto delta V de la Tierra a Mercurio

Contexto

Mientras verifico un cálculo básico para calcular el presupuesto delta V requerido para llegar a Mercurio, estoy experimentando algunas dificultades al interpretar el número 8650 m / s desde la intercepción de la Tierra hasta Mercurio como se indica en el mapa subterráneo del sistema solar como se presenta en esta pregunta .

Además, noté que no tengo una comprensión clara de lo que significa "intercepción de la Tierra". Por lo tanto, me gustaría presentar mi cálculo del delta V junto con la interpretación de "Intersección (Tierra)" y preguntar si cometí algún error en mis cálculos o suposiciones.

suposiciones

• La "Intercepción de la Tierra" significa que la nave espacial ha alcanzado la velocidad de escape de la Tierra respecto a la Tierra.
• El radio esférico de la Tierra es de aproximadamente 6371000m.
• Se supone que la Tierra es una esfera homogénea.
• La altitud LEO es de 250 km sobre la superficie de la Tierra.
• $$\mu_{Earth}=GM_{Earth}=3.98*10^14$$
• La nave espacial puede llegar a LEO con un delta V de 9400 m/s, de los cuales 1600 m/s se deben a la fricción, lo que produce una velocidad circular de 7800 m/s alrededor de Leo . Verificando esto con la ecuación de Vis-Viva para$r=a$(una órbita circular). $$V_{Circ-LEO}=\sqrt{\frac{\mu_{Earth}}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{3.98*10^14}{6371000+250000}}=7753.18..\frac{m}{s}$$ Esto se considera verificado, ya que Leo podría estar en realidad ligeramente por debajo o por encima de los 250 km de altitud.
• Luego, el delta V requerido para alcanzar la velocidad de escape de la Tierra desde LEO se calcula calculando primero la velocidad de escape a la altitud LEO usando : $$V_{LEO-esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{2\mu_{Earth}}{r_{LEO}}}=\sqrt{\frac{2*3.98*10^14}{6371000+250000}}=10964.6\frac{m}{s}$$ Y restando la velocidad circular previamente calculada de LEO de eso: $$\Delta V_{LEO-Earth-escape}=V_{LEO-esc}-V_{Circ-LEO}=10964.6-7753.18=3211.46 \frac{m}{s}$$ Lo que parece estar lo suficientemente cerca del presupuesto para llegar a la intercepción de la Tierra desde LEO como se muestra en el Mapa del Metro del Sistema Solar. Por lo tanto, esto se considera verificado.
• Este escape en V se interpreta como una nave espacial que puede moverse "libremente" a cualquier posición en la órbita de la Tierra alrededor del Sol. En esencia, no tiene suficiente energía para moverse hacia arriba o hacia abajo en su órbita alrededor del sol, pero está "libre" del agarre de la Tierra/esfera de Hill. (Tenga en cuenta que esto no es completamente exacto, creo porque realmente moverse a lo largo de la órbita de la Tierra alrededor del Sol requeriría un delta V insignificante).
• Dado que se supone que la "intersección con la Tierra" significa que la nave espacial está simplemente en algún lugar a la misma altura de órbita alrededor del sol que la Tierra, se supone que para llegar a Mercurio es suficiente alcanzar una órbita circular igual a la de la Tierra. eje semi-mayor (0,387 UA) de la órbita elíptica de Mercurio. Está bien golpear a Mercurio en el momento del impacto por el bien del cálculo.

Cálculos

Sobre la base de estas suposiciones, se realiza el cálculo real desde la intersección con la Tierra hasta la intersección con Mercurio. Primero, las ecuaciones de Vis-Viva se reescriben para calcular la velocidad circular de la Tierra y Mercurio:

$$\begin{equation} \begin{split} V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_{Earth-Sun}}-\frac{1}{a_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{2}{r_{Earth-Sun}}-\frac{1}{r_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\mu\left(\frac{1}{r_{Earth-Sun}}\right)}\\ V_{Earth}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Earth-Sun}}}\\ \end{split} \end{equation}$$ Completando los números:

• $\mu_{Sun}=1.33\cdot 10^{20} \frac{m^3}{s^2}$
• $r_{Earth-Sun}=1.496\cdot 10^{11} m$Rendimientos: $$\begin{equation} \begin{split} V_{Earth}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Earth-Sun}}}\\ V_{Earth}=\sqrt{\frac{1.33\cdot 10^{20}}{1.496\cdot 10^{11}}}=29816.73075900643\frac{m}{s}\\ \end{split} \end{equation}$$ Luego, uno puede calcular la velocidad orbital de Mercurio alrededor del Sol usando$r_{Mercury-Sun}=0.387\cdot 1.496\cdot 10^{11}$:

$$\begin{equation} \begin{split} V_{Mercury}=\sqrt{\frac{\mu_{Sun}}{r_{Mercury-Sun}}}\\ V_{Mercury}=\sqrt{\frac{1.33\cdot 10^{20}}{0.387\cdot1.496\cdot 10^{11}}}=47929.68129706198\frac{m}{s}\\ \end{split} \end{equation}$$

De ahí la necesaria$\Delta V$se puede calcular como:

$$\begin{equation} \Delta V_{Mercury}=V_{Mercury}-V_{Earth}=47929.68129706198-29816.73075900643=18112.95053805555\frac{m}{s} \end{equation}$$ Sin embargo, esto $$18112.95053805555\frac{m}{s}$$ no está en el barrio de la $$8650\frac{m}{s}$$ se muestra para la intercepción de la Tierra a la intersección de Mercurio.

Código de cálculos

Para completar, aquí está el código de Python que realizó los cálculos reales desde la intersección de la Tierra hasta la intersección de Mercurio:

import math

# Initialize parameters:
mu_sun=1.33*10**20
r_earth_sun=1.496*10**11
r_mercury_sun_au=0.387
r_mercury_sun=r_mercury_sun_au*r_earth_sun

# Compute orbital velocities
v_earth=(mu_sun/r_earth_sun)**0.5
print(f'v_earth=\n{v_earth}')

v_mercury=(mu_sun/r_mercury_sun)**0.5
print(f'v_mercury=\n{v_mercury}')

dv_mercury=v_mercury-v_earth
print(f'dv_mercury=\n{dv_mercury}')

Pregunta

¿Qué hice mal en mi cálculo de la intercepción de la Tierra a la intersección de Mercurio?