Densidad de energía de un conjunto de mecánica cuántica

¿Cómo determinamos la densidad de energía de un sistema dado? He visto que el operador de densidad

ρ   =   Exp ⁡ ( − β H ^ ) tr ( Exp ⁡ ( − β H ^ ) ) .

¿Qué significa esto exactamente y cómo se relaciona con los estados puros y no polarizados de un sistema? Por ejemplo, dado un sistema de partículas relativistas de espín-1/2, la densidad del haz completamente despolarizado es σ   =   1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | o

σ   =   ( 1 2 0 0 1 2 )

¿Son los elementos diagonales las probabilidades de que dentro del conjunto se encuentre una partícula particular en ese estado de espín? Si es así, ¿cómo afecta esto a la densidad de energía del sistema? No estoy del todo seguro de cuál sería el hamiltoniano en este caso. Pero creo que spin-up y spin-down son estados propios con valores propios λ ± = ± ℏ 2 , así que como suposición, dado que estamos hablando de proyecciones de espín, los valores propios de la energía van a ser proporcionales a λ ±

ρ   =   1 mi − β ℏ 2 + mi β ℏ 2 ( mi β ℏ 2 0 0 mi − β ℏ 2 )

dónde β es la inversa de la temperatura dada por β = 1 k T , sin embargo, no estoy seguro de cuál será la constante de proporcionalidad ya que asumo que el hamiltoniano será proporcional a σ z y no igual a ella.

¿Sería posible ver un ejemplo o tener una explicación de lo que está sucediendo? Me refiero a Modern Quantum Mechanics de Sakurai y Quantum Mechanics de Bransden y Joachain.

Respuestas (1)

si, el ejemplo σ = 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | usted da describe un conjunto completamente no polarizado para un solo spin- 1 / 2 sistema y los coeficientes 1 / 2 representan definitivamente las probabilidades de que la partícula esté en un estado de espín hacia arriba o hacia abajo. Ahora explicaré el significado del operador de densidad ρ = mi X pag ( − β H ) / Z — ( 1 ) dónde Z ≡ t r ( mi X pag ( − β H ) ) y su aplicación al hilado simple 1 / 2 incluyendo sus conexiones con los estados puro y no polarizado.

En términos generales, la ecuación (1) es el operador de densidad para un sistema en equilibrio H , su significado físico se vuelve más claro si lo reescribimos como ρ = mi X pag ( − β mi 1 ) Z | 1 ⟩ ⟨ 1 | + mi X pag ( − β mi 2 ) Z | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . (puede probar esta fórmula usted mismo), donde | norte ⟩ son estados propios de energía normalizados de H con valores propios mi norte . Aquí los coeficientes mi X pag ( − β mi norte ) Z dar las probabilidades de que el sistema esté en el estado | norte ⟩ .

Ahora considere dos casos extremos que son físicamente importantes:

(1)Límite de baja temperatura ( β → ∞ ) , ρ = 1 D | 1 ⟩ ⟨ 1 | + 1 D | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . + 1 D | D ⟩ ⟨ D | , dónde | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , . . . , | D ⟩ son los D estados fundamentales degenerados de H .

(2) Límite de temperatura alta ( β → 0 ) , ρ = 1 d | 1 ⟩ ⟨ 1 | + 1 d | 2 ⟩ ⟨ 2 | + . . . + 1 d | d ⟩ ⟨ d | , dónde d es la dimensión del espacio de Hilbert del sistema, | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , . . . , | d ⟩ son los estados propios de energía.

Ahora aplique las fórmulas anteriores a su ejemplo, deje H = σ z sea ​​el hamiltoniano del espín simple 1 / 2 sistema. Entonces sus estados propios de energía son simplemente | ↑ ⟩ y | ↓ ⟩ , su estado fundamental es simplemente | ↓ ⟩ ( así que aquí d = 2 , D = 1 ). Entonces, para el límite de temperatura baja , tenemos ρ = | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | ( estado puro que mencionaste ); y para el límite de alta temperatura , tenemos ρ = 1 2 | ↑ ⟩ ⟨ ↑ | + 1 2 | ↓ ⟩ ⟨ ↓ | ( Estados completamente despolarizados que mencionaste ).

Espero que mi respuesta te sea útil.

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