Expresión de forma cerrada para el operador de densidad para el oscilador armónico en equilibrio térmico

Estoy buscando una forma cerrada del operador de densidad del oscilador armónico cuántico en equilibrio térmico, preferiblemente en representación de posición. Estoy bastante seguro de que parece un estado coherente, pero no pude encontrarlo en ninguno de mis libros o fuentes en línea que hojeé. Si mi memoria no me falla, entonces también existe una función de Wigner de forma cerrada, por lo que esperaría que también exista una representación de posición pura simple. Pero por favor infórmeme si me equivoco, si no hay formulario cerrado.

Una breve derivación también es bienvenida.

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He escrito lo que logré hacer. El operador de densidad para un conjunto canónico con$\beta = \frac{1}{k_BT}$debiera ser$\hat \rho = \exp(-\beta \hat H)$.Usando la resolución de identidad, podemos escribirlo como

$$\begin{aligned} \hat \rho &=\exp(-\beta \hat H)\sum_{n=0}^\infty |n\rangle \langle n|\\ &= \sum_{n=0}^\infty \exp(-\beta E_n)|n\rangle \langle n|\\ &=\sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)|n\rangle \langle n|\\ \end{aligned}$$ Las funciones propias del oscilador armónico son $$\langle x | n \rangle =\phi_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2^nn!}} \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\exp(-\frac{m\omega x^2}{2\hbar})H_n\left(\frac{m\omega}{\hbar} x \right)$$

La representación de posición del operador de densidad es entonces

$$\begin{aligned} \langle x|\hat \rho|x'\rangle &= \sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)\langle x|n\rangle \langle n|x'\rangle\\ &= \sum_{n=0}^\infty \exp\left(-\beta \left(\frac{1}{2}\hbar\omega(n+1) \right) \right)\phi_n(x) \phi^*_n(x')\\ \end{aligned}$$ ¿Se puede simplificar esta suma?