Cálculo de la excentricidad de un exoplaneta

Me pregunto cómo calcular la excentricidad de un exoplaneta por su gráfico de velocidad radial frente a fase. Para aclarar mi pregunta, tomaré un exoplaneta llamado WASP-14b 2 como ejemplo ( http://exoplanets.org/detail/WASP-14_b ).

En la esquina superior izquierda se muestra un gráfico de la velocidad radial de la estrella frente a la fase. Me pregunto cómo podría calcular la excentricidad del exoplaneta usando este gráfico (o algunos otros valores dados en las medidas originales). Encontré algunas formas de calcular la excentricidad:

mi = | mi |

Esto usa el vector de excentricidad que se calcula usando esta fórmula:

mi = v × h m − r | r |

El problema aquí es que esta fórmula necesita el vector de momento angular específico y el vector de posición, que no sé dadas solo las medidas. Sin embargo, hay otra forma de calcular la excentricidad:

mi = 1 − 2 ( r a / r pag ) + 1

dónde r a es el radio de la apoapsis y r pag el radio de la periaosis. Estos valores no se conocen usando solo las medidas, pero creo que debería ser posible calcularlos tomando la integral de la función seno (velocidad radial frente a fase). Esto me daría la posición de la estrella en un momento dado. El problema es que no puedo encontrar los puntos exactos que se muestran en el gráfico en ninguna parte, y mucho menos una función de seno que se ajuste a ellos.

Cuando obtengo una integral de la función, todavía tengo que crear una para el planeta mismo, ya que describe el movimiento de la estrella. Puedo calcular la masa del planeta usando la siguiente fórmula:

r 3 = GRAMO METRO s t a r 4 π 2 PAG s t a r 2

que me da la distancia entre la estrella y el planeta. A continuación, puedo calcular la velocidad del planeta usando:

V PAG L = GRAMO METRO s t a r / r

Y después de eso puedo calcular la masa del planeta usando esta fórmula:

METRO PAG L = METRO s t a r V s t a r V PAG L

Pero aquí es donde surge otro problema, ya que un artículo de Wikipedia sobre espectroscopia Doppler afirma: "Las observaciones de una estrella real producirían un gráfico similar, aunque la excentricidad en la órbita distorsionaría la curva y complicaría los cálculos a continuación".

¿Dónde encuentro los cálculos corregidos y cómo puedo calcular la excentricidad de este planeta usando solo estos valores ( METRO s t a r y la trama, de la que no puedo encontrar los puntos exactos)?

Fuentes adicionales: http://adsabs.harvard.edu/abs/2009MNRAS.392.1532J

Realmente no estoy seguro de lo que estás tratando de hacer. Ajusta un modelo de curva de velocidad radial excéntrica a los datos.

Respuestas (1)

Hay una serie de opciones si desea una solución lista para usar para ajustar las curvas de RV. Quizás el mejor gratuito es Systemic Console .

Sin embargo, no es demasiado difícil hacer algo básico usted mismo.

Primero define algunos términos:

v ( t ) es la verdadera anomalía: el ángulo entre el pericentro y la posición del cuerpo alrededor de su órbita, medido desde el centro de masa del foco de la elipse.

mi ( t ) es la anomalía excéntrica y se define a través de la ecuación

broncearse ⁡ mi ( t ) 2 = ( 1 + mi 1 − mi ) − 1 / 2 broncearse ⁡ v ( t ) 2

La anomalía media METRO ( t ) es dado por

METRO ( t ) = 2 π pag ( t − τ ) ,
dónde pag es el periodo orbital y τ es el momento del paso por el pericentro.

La "ecuación de Kepler" nos dice que

METRO ( t ) = mi ( t ) − mi pecado ⁡ mi ( t )

Finalmente, la velocidad radial viene dada por

V r ( t ) = k [ porque ⁡ ( ω + v ( t ) ) + mi porque ⁡ ω ] + γ ,
dónde k es la semiamplitud, γ es la velocidad radial del centro de masa y ω es el ángulo habitual que define el argumento del pericentro medido desde el nodo ascendente.

Bien, entonces el problema es que la velocidad radial no depende explícitamente de t , sino más bien en v . Entonces lo que haces es lo siguiente:

  1. Elija valores para k , γ , ω , τ , pag y mi ; estos son sus "parámetros libres que describen la órbita". Cuanto más se acerque a su suposición inicial, mejor.

  2. Utilice estos parámetros para predecir cuáles serían las velocidades radiales en los momentos de observación de los puntos de datos de su RV. Lo haces calculando v ( t ) utilizando las ecuaciones anteriores. Comience con la segunda ecuación y calcule METRO ( t ) . Entonces tienes que resolver la tercera ecuación para obtener mi ( t ) . Esto es trascendental, por lo que hay que usar un método de Newton-Raphson o algo similar para encontrar la solución. Una vez que tengas mi ( t ) entonces usas la primera ecuación para encontrar v ( t ) . Luego usa la cuarta ecuación para calcular V r ( t ) en cada uno de sus puntos de datos.

  3. Calcule un chi-cuadrado (o una figura de mérito similar) al comparar los valores pronosticados y medidos de V r ( t ) .

  4. Itere los valores de los parámetros libres y regrese al paso 2. Continúe hasta que su ajuste converja.

¡Gracias por su respuesta! Te dejaré saber si esto lo resolvió.
Lamento preguntar, pero ¿cómo puedo aplicar el método de Newton-Raphson cuando aún no conozco la excentricidad (e)?
@kdnooij Postulas un mi (junto con los otros 4 parámetros), produzca la curva de velocidad radial esperada y compárela con sus datos. Ajuste los parámetros hasta que obtenga un buen ajuste.
Un poco tarde, pero me encontré con esta pregunta nuevamente: funcionó para mí y pude determinar la excentricidad y todos los demás parámetros casi con la misma precisión que se hizo en el trabajo de investigación original. Creo que se puede mejorar un poco el algoritmo de minimización de chi-cuadrado, ¡pero después de todo funcionó muy bien!
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