Cálculo de conductividad térmica [cerrado]

Siempre que se conozcan algunas constantes del material, se podría obtener una estimación razonable mediante un análisis térmico concentrado .

La carcasa azul es la silicona protectora. La temperatura ambiente es$T_{\infty}$($180\:\mathrm{C}$) y buscamos la función$T(t)$.

El análisis concentrado asume que la temperatura de la esfera es uniforme (sin gradientes de temperatura radiales).

Usando la ley de enfriamiento/calentamiento de Newton, podemos describir el flujo de calor que ingresa a la esfera como:

$$\frac{\mathbf{d}Q}{\mathbf{d}t}=uA[T_{\infty}-T(t)],\tag{1}$$

dónde$u$es el coeficiente global de transferencia de calor y$A$el área de la superficie de la esfera (suponiendo que la capa de silicona no sea demasiado gruesa).

Un flujo de calor infinitesimal$\mathbf{d}Q$hace que la esfera se caliente por$\mathbf{d}T$, según:

$$\mathbf{d}Q=mc_p\mathbf{d}T(t),\tag{2}$$ dónde $m$es la masa de la esfera y $c_p$su capacidad calorífica específica. Sustituyendo $(2)$en $(1)$obtenemos:

$$\frac{mc_p\mathbf{d}T(t)}{\mathbf{d}t}=uA[T_{\infty}-T(t)]\tag{3}$$

$(3)$es una ecuación diferencial lineal de primer orden, resoluble por separación de variables y da:

$$\ln\Bigg[\frac{T_{\infty}-T(t)}{T_{\infty}-T_0}\Bigg]=-\frac{uA}{mc_p}t,\tag{4}$$

dónde$T_0$es la temperatura inicial de la esfera y$T(t)$la temperatura despues del tiempo$t$. Entonces$(4)$describe los aprox. evolución de la temperatura de la esfera.

El coeficiente global de transferencia de calor$u$se puede estimar para espesores no muy grandes$\theta$de la carcasa de silicona por:

$$\frac1u\approx\frac{1}{k_1}+\frac{\theta}{\kappa}+\frac{1}{k_2},\tag{5}$$ dónde:

1. $k_1$es el coeficiente de transferencia de calor del medio de calentamiento al silicio y$k_2$es el coeficiente de transferencia de calor de la silicona a la esfera.
2. $\kappa$es la conductividad térmica de la silicona.

Configurando$T(t)$al valor 'seguro' deseado y usando$(4)$,$u$luego se puede estimar. y usando$(5)$, el mínimo$\theta$se puede calcular asi$T(t)$no exceda la temperatura segura.

Esta es una pregunta engañosa, y cualquiera de las respuestas matemáticas solo le dará una estimación. Si desea una respuesta en la que pueda confiar, debe experimentar o usar algo como el modelado de elementos finitos .

No puedo dar una respuesta completa, pero tal vez señalarle un marco de inicio.

El problema se rige por la ecuación del calor. Es una ecuación diferencial parcial que tendrás que resolver. Podemos intentar pensarlo en una sola dimensión (es decir, el grosor del aislamiento).

$\frac{\partial u}{\partial t} (x, t) = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)$

Aquí la temperatura es$u(x,t)$y$k$es la conductividad térmica. Tendremos que establecer algunas condiciones iniciales y de contorno. En la superficie exterior del aislamiento.$x=R$, podemos establecer$u = T_{bath}$para todos$t$.

Para la superficie interna del aislamiento, creo que una simplificación sería pensar en una esfera sólida de aislamiento en lugar de una capa. Facilita las matemáticas y es probablemente más conservador. Entonces podríamos establecer una condición inicial$u = T_{room}$, y hacer cumplir que la primera derivada$\frac{\partial u}{\partial x} \rvert_{x=0}$va a cero para todos$t$.

También debe elegir un perfil de temperatura inicial$u(x,0)$. En realidad, va a ser discontinuo, pero si elige una forma funcional suave, hará que las matemáticas sean más fáciles.

Entonces lo que quieres encontrar es el grosor.$R$para que la temperatura$u$en$x=0$es menor que su objetivo después de la cantidad de tiempo dada.

Probablemente se dé cuenta de que esta no es la pregunta más fácil, y no confiaría en su resultado en una aplicación de trabajo real sin un factor de seguridad sustancial.

Yo probaría esto experimentalmente. No hornees tu prototipo. Hornee un termopar y mida la temperatura.

A primera vista, supongo que algo menos de varias pulgadas no es suficiente.