Cantidad de combustible para acelerar una nave espacial

¿Necesitaré otro 1 % de mi combustible inicial o necesito más combustible, es decir, uso de energía lineal o no lineal?

Ignorando los efectos relativistas, necesita menos combustible para pasar de 10000 km/hora a 20000 km/hora en lugar de pasar de 0 km/hora a 10000 km/hora. Mientras que 20000 km/hora suena rápido, en realidad es bastante lento. Eso ni siquiera es suficiente para ponerlo en órbita alrededor de la Tierra, lo que requiere un Δv en algún lugar entre 34000 km/hora y 40000 km/hora. Esos 20000 km/hora también son muy lentos en comparación con la velocidad de la luz, que es un poco más de 1000000000 km/hr. Los efectos relativistas comienzan a aparecer aproximadamente al 1% de la velocidad de la luz y no son significativos hasta aproximadamente el 10% de la velocidad de la luz.

Supondré generosamente que su cohete inicialmente tenía un 90% de combustible en masa. (Hacer un cohete cuya masa sea inicialmente un 85% de combustible es difícil). También supondré que su cohete está en el espacio vacío, bien alejado de cualquier cuerpo gravitatorio. En ese caso, se aplica la ecuación ideal del cohete :

$$\Delta v = v_e \ln\left(\frac{m_i}{m_f}\right)$$ Tu cohete alcanzó un Δv de 10000 km/hora después de quemar el 10% del combustible inicial. Esto significa que su cohete tiene una velocidad de escape de 29,45 km/s (106033 km/h), lo que lo coloca en la clase de un motor de propulsión de iones típico.

Si el cohete quema todo el combustible mientras acelera en línea recta, la velocidad final sería de 244148,9 km/hora. Esto es más del doble del valor obtenido ingenuamente al multiplicar tus 10000 km/hora por diez.

Esto se rige por la ecuación del cohete Tsiolkovsky.

$$\Delta V = ln\left( \frac{M_{i}}{M_{f}} \right)v_e$$

dónde$\Delta V$es su cambio total en la velocidad,$v_e$es la velocidad de escape efectiva de su motor,$M_{i}$es la masa antes de la quemadura, y$M_{f}$es la masa al final de la quemadura.

Aquí está el problema: se necesita una relación de masa mínima para alcanzar un determinado$\Delta V$para una velocidad de escape efectiva dada, dada por

$$\frac{M_i}{M_f} = e^\left(\frac{\Delta V}{v_e}\right)$$

Debido al término exponencial, las proporciones de masa se vuelven desagradables a medida que apuntas a valores más altos.$\Delta V$. Para cualquier cosa que estemos volando hoy, se vuelven estúpidamente enormes por alcanzar velocidades más allá de pequeñas fracciones de$c$. Por esa razón, estoy empezando con velocidades del orden de 0.0001$c$. Todo esto se rompería a velocidades relativistas, pero no vamos a acercarnos a velocidades relativistas con unidades de reacción convencionales.

Si está utilizando un motor de iones como la nave espacial Dawn ($v_e$~ 30380 m/s), entonces la relación de masa requerida para llegar a 0.0001$c$(~30000 m/s) es 2,685; por cada kilogramo de masa que desee acelerar, debe gastar ~1,7 kg de propulsor ¹ . Este es el motor más eficiente en uso hoy en día; la SSME$v_e$alcanza un máximo de ~4410 m/s en el vacío, lo que nos da una relación de masa de un poco más de 900 (899 kg de propulsor por cada kg de masa final).

Esto significa que tenemos que trabajar al revés; si queremos hacer dos encendidos, primero tenemos que calcular cuánto propulsor necesitamos reservar para el segundo encendido y luego tenerlo en cuenta en el cálculo para el primer encendido. Estamos asumiendo tanques propulsores mágicos sin masa.

Para el segundo encendido, estamos acelerando solo la masa seca de la nave espacial en 30000 m/s. Si nuestra nave espacial tiene una masa de 1000 kg y nuestra relación de masa es ~2.7, eso significa que necesitamos reservar 1700 kg de propulsor para esa quema.

Para el primer encendido, estamos acelerando la nave espacial más el propulsor necesario para el segundo encendido. Nuestro$\Delta V$es el mismo, por lo que nuestra relación de masa es la misma, por lo que necesitamos 1,7 * (1000 + 1700) = 4590 kilogramos adicionales de propulsor, para una masa inicial total de 8290 kg.

Mencioné que las proporciones de masa se ponen feas a medida que su$\Delta V$Sube. Si quieres acelerar en 0.001$c$(300000 m/s), la relación de masa del motor Dawn salta hasta ~19437; por cada kg de masa que quieras acelerar, tienes que gastar más de diecinueve mil kg de propulsor.

No vamos a alcanzar nada cercano a la velocidad de la luz usando ningún motor de reacción que tenga que llevar su propio propulsor. O necesita acumular masa propulsora mientras vuela (estatorreactores Bussard), usar velas solares o láser, o usar una verdadera unidad sin reacción como la unidad warp de Star Trek.

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1. La relación de masa es la masa propulsora más la masa final dividida por la masa final. Una relación de masa de 2 significa que tenemos 1 kg de propulsor por cada kg de masa final, una relación de masa de 3 significa que tenemos 2 kg de propulsor por cada kg de masa final, etc. Entonces restamos 1 de la relación de masa para calcular saber cuánto propulsor usamos.

Las respuestas que utilizan la ecuación del cohete Tsiolkovsky están bien, pero es posible que no aclaren la física subyacente. Es más sencillo si tomamos el caso de$\Delta V\ll v_e$. En esa aproximación, la masa del barco es constante. La pregunta sería entonces si el combustible utilizado es proporcional al impulso final del cohete (que va linealmente con$\Delta V$), o su energía cinética final (que es como$\Delta V^2$). Parece una paradoja, porque en un cohete, el combustible proporciona tanto el impulso (masa de reacción) como la energía cinética.

La resolución de la paradoja es que, en el estado final, no solo hay energía cinética en el cohete. También hay energía cinética en el combustible. Por lo tanto, es erróneo suponer que tenemos que consumir energía-combustible en proporción a$\Delta V^2$. El combustible utilizado es proporcional a$\Delta V$.

Otra forma de ver esto es que podemos elegir un marco de referencia que esté momentáneamente en reposo en relación con la nave en algún momento después de que ya haya estado acelerando. En ese marco, la eficiencia del motor tiene que ser la misma que la eficiencia cuando el motor parte del reposo, porque en ese marco, el cohete está momentáneamente en reposo.