¿El número de Euler eee tiene un papel en la cinemática?

Question

¿El número de Euler eee tiene un papel en la cinemática?

Sierra

número de Euler $e$ se explica a menudo con el ejemplo del interés continuo compuesto.

Me preguntaba si también se podría ilustrar con un ejemplo sobre el desplazamiento de un cuerpo (aunque no uno oscilante, con el que tengo menos dificultad para encontrar e , sino que se extiende sin fin en línea recta).

Mis intentos hasta ahora para encontrar una respuesta:

Una de las formas de calcular el número de Euler es con la serie de los factoriales inversos:

$e = \sum\limits_{n = 0}^\infty {(\frac{1}{{n!}})} = \frac{1}{{0!}} + \frac{1}{{1!}} + \frac{1}{{2!}} + \frac{1}{{3!}} + \frac{1}{{4!}} + \frac{1}{{5!}} + ... = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{24}} + \frac{1}{{120}} + ... % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyzaiabg2 % da9maaqahabaGaaiikamaalaaabaGaaGymaaqaaiaad6gacaGGHaaa % aiaacMcaaSqaaiaad6gacqGH9aqpcaaIWaaabaGaeyOhIukaniabgg % HiLdGccqGH9aqpdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIWaGaaiyiaaaacqGH % RaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIXaGaaiyiaaaacqGHRaWkdaWcaa % qaaiaaigdaaeaacaaIYaGaaiyiaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigda % aeaacaaIZaGaaiyiaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaI0a % GaaiyiaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaI1aGaaiyiaaaa % cqGHRaWkcaGGUaGaaiOlaiaac6cacqGH9aqpcaaIXaGaey4kaSIaaG % ymaiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaey4kaSYaaSaa % aeaacaaIXaaabaGaaGOnaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaaca % aIYaGaaGinaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaIXaGaaGOm % aiaaicdaaaGaey4kaSIaaiOlaiaac6cacaGGUaaaaa!69B7!$

Obtienes una serie similar si consideras el desplazamiento, después de 1 segundo, de un objeto que comienza en la posición = 1 m, con v = 1 m/s y sujeto a aceleración = 1 m/s^2 y a derivadas sucesivas de posición con respecto al tiempo (jerk, snap, crackle, pop... y así hasta el infinito), todos de valor = 1:

$\Delta r = {r_o} + {v_o}\Delta t + a\frac{{\Delta {t^2}}}{2} + j\frac{{\Delta {t^3}}}{6} + c\frac{{\Delta {t^4}}}{{24}} + p\frac{{\Delta {t^5}}}{{120}}... = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{24}} + \frac{1}{{120}} + ... % MathType!MTEF!2!1!+- % feaagKart1ev2aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeyiLdqKaam % OCaiabg2da9iaadkhadaWgaaWcbaGaam4BaaqabaGccqGHRaWkcaWG % 2bWaaSbaaSqaaiaad+gaaeqaaOGaeyiLdqKaamiDaiabgUcaRiaadg % gadaWcaaqaaiabgs5aejaadshadaahaaWcbeqaaiaaikdaaaaakeaa % caaIYaaaaiabgUcaRiaadQgadaWcaaqaaiabgs5aejaadshadaahaa % WcbeqaaiaaiodaaaaakeaacaaI2aaaaiabgUcaRiaadogadaWcaaqa % aiabgs5aejaadshadaahaaWcbeqaaiaaisdaaaaakeaacaaIYaGaaG % inaaaacqGHRaWkcaWGWbWaaSaaaeaacqGHuoarcaWG0bWaaWbaaSqa % beaacaaI1aaaaaGcbaGaaGymaiaaikdacaaIWaaaaiaac6cacaGGUa % GaaiOlaiabg2da9iaaigdacqGHRaWkcaaIXaGaey4kaSYaaSaaaeaa % caaIXaaabaGaaGOmaaaacqGHRaWkdaWcaaqaaiaaigdaaeaacaaI2a % aaaiabgUcaRmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdacaaI0aaaaiabgUca % RmaalaaabaGaaGymaaqaaiaaigdacaaIYaGaaGimaaaacqGHRaWkca % GGUaGaaiOlaiaac6caaaa!6F1D!$

Pero esta situación parece muy irreal.

Sin embargo, debería haber un ejemplo de la vida real, porque puede obtener fácilmente el desplazamiento = e (si no me equivoco) cuando la aceleración afecta solo a la dirección, no al módulo. Tomemos, por ejemplo, un satélite que está a 1 unidad de distancia de una fuente de gravitación y que se mueve tangencialmente por inercia en v = 1 de cualquier unidad. Si la gravedad actúa perpendicularmente al movimiento tangencial y la aceleración causada por la gravedad es $\frac{v^2}{r}$ (es decir, con estos números, 1), entonces el desplazamiento después de 1 unidad de tiempo será circular y de módulo 1 radian = $e^i$ , ¿no? Esta situación me parece mucho al interés compuesto, porque comienzas con un capital (radio) y una tasa de interés (velocidad) y luego haces que el interés sea compuesto y continuo, aunque solo en términos de dirección (aceleración centrípeta).

Pero y si el satélite se dirigiera hacia la tierra y lo que cambiara fuera el módulo de su velocidad, ¿perdemos entonces la posibilidad de involucrar el número e ?

PM 2 Anillo

Te va a encantar la transformada de Fourier y el análisis y síntesis de Fourier. ;)

Sierra

@PM 2Ring Lo había estado estudiando durante los últimos meses, me encanta y, bueno, ¡eso es lo que inspiró el ejemplo sobre el satélite! Me temo que me equivoqué al hablar de cinemática. Por supuesto la cinemática también describe ondas y osciladores, pero no tengo problema en verlo ahí; lo que quise decir es que lo estoy buscando en fenómenos no oscilantes.

Respuestas (3)

¿El número de Euler eee tiene un papel en la cinemática?

Te va a encantar la transformada de Fourier y el análisis y síntesis de Fourier. ;)
@PM 2Ring Lo había estado estudiando durante los últimos meses, me encanta y, bueno, ¡eso es lo que inspiró el ejemplo sobre el satélite! Me temo que me equivoqué al hablar de cinemática. Por supuesto la cinemática también describe ondas y osciladores, pero no tengo problema en verlo ahí; lo que quise decir es que lo estoy buscando en fenómenos no oscilantes.

biofísico · Answer 1

biofísico

Un ejemplo simple es solo un objeto que comienza en reposo y cae con una fuerza de arrastre proporcional a la velocidad del objeto, $F_D=-bv$ . Entonces la aceleración está dada por

a = \frac{d v}{d t} = gramo - \frac{b}{metro} v

$a=\frac{dv}{dt}=g-\frac bmv$

Por lo tanto, la velocidad en el tiempo está dada por

v (t) = \frac{metro gramo}{b} (1 - {mi}^{- b t / metro})

$v(t)=\frac{mg}{b}(1-e^{-bt/m})$

Normalmente obtienes $e$ apareciendo cuando la tasa de cambio de algo es proporcional a sí mismo.

Sierra

Gracias, al final acepté la otra respuesta porque ahí e aparece solo en la solución y significando desplazamiento. Pero, ¿puedes aclarar esto? En el último comentario, le pregunté a knzhou si podía construir un ejemplo similar con un automóvil acelerando. Podría pedirte una aclaración similar: ¿y si la fuerza de arrastre fuera proporcional al desplazamiento, y si un coche pisara progresivamente el freno en proporción ax? Si x comienza en 1 y v comienza en 1, después de t=1, ¿sería x e ?

biofísico

@Sierra Me refiero a obtener la posición o velocidad real para ser

e

$e$ es bastante artificial. En mi ejemplo puedes encontrar un momento en el que

x

$x$ o

v

$v$ es igual

e

$e$ (con las unidades correspondientes). Incluso los objetos que se mueven a una velocidad constante tendrán un tiempo en el que la distancia recorrida es igual a

e

$e$ . Por ejemplo, para una partícula que se mueve con velocidad constante

v = e

$v=e$ , luego después de un segundo

x = e

$x=e$ . Para una partícula que se mueve a velocidad constante

v = e / 2

$v=e/2$ , luego después de dos segundos

x = e

$x=e$ . Hay muchas posibilidades en las que puede encontrar algún punto en el tiempo en el que un valor sea

e

$e$ .

biofísico

@Sierra Lo que es más interesante, y lo que pensé que buscabas, es buscar instancias en las que

e

$e$ está involucrado en la dinámica subyacente del problema. Cuando hay algo cambiando cuya tasa de cambio es proporcional a sí mismo. En otras palabras, como solo un número, realmente no hay nada especial en

e

$e$ . Es solo un número real como todos los demás números reales. Se vuelve importante cuando comienza a considerar funciones "especiales" como

e^{x}

$e^x$ cuya tasa de cambio es igual a sí mismo.

Sierra

Soy consciente de que e es solo 2.718 + infinitos decimales ... y puede encontrar un número similar en cualquier lugar (por ejemplo, en interés simple), aunque probablemente no con exactamente los mismos dígitos si la situación subyacente no coincide con lo que usted llama su dinámica . También soy consciente de que su dinámica es una función cuya tasa de cambio es ella misma. De hecho, la serie de Newton que se incluye en el PO tiene la característica de que para cada término la derivada es la anterior. Esta serie asume 1 en x, v y t y da e pero puedes modificar el exponente de e y adaptarlo a cualquier otra situación...

Sierra

Mi pregunta es que esta serie, con el valor e o e alterado como puedas imaginar, refleja una situación con infinitas derivadas que parecía irreal. Entonces me pregunté si el caso mencionado por knzhou encaja a pesar de todo, por qué y si otro ejemplo sería uno de los que menciono (alguien pisando el acelerador o los frenos en proporción a la cilindrada…). ¿Obtiene en esos casos sacudidas, chasquidos, crujidos, estallidos, etc. hasta el infinito y de valores decrecientes?

biofísico

@Sierra Sí, obtendrías esos valores hasta el infinito. Esto no es un problema porque las sumas infinitas todavía pueden converger.

Sierra

Sí, si los infinitos términos de la sucesión convergen a 0 (como aquí, ya que los factoriales siempre crecen más rápido que las potencias), la sucesión puede converger a un valor finito (e^t en este caso). La pregunta era como la de Zenón: si los términos infinitos son una lista de cosas por hacer, que serían imposibles, o una forma de describir lo que se ha hecho. Si me dices que la fórmula de aceleración decreciente/tirón/chasquido/crujido... describe el desplazamiento de una persona cuando pisa más y más el acelerador en proporción a r, está bien, eso respondería la pregunta.

Sierra

Pero, ¿cómo te adaptas a diferentes condiciones? Si debemos introducir aquí otro exponente ω, como lo hizo knzhou, que me parece bien, esa sería la forma de modificar e para reflejar condiciones particulares (desempeña el papel de la tasa de interés, ¿no?), pero ω generalmente denota angular frecuencia y aquí tenemos una velocidad en línea recta…

biofísico

@Sierra En el ejemplo de knzhou si

F = - k x

$F=-kx$ entonces

ω = \sqrt{k / m}

$\omega=\sqrt{k/m}$ representaría una frecuencia angular y el movimiento seguiría siendo a lo largo de una línea recta. podemos llamar

ω

$\omega$ una frecuencia angular porque en ese caso habría oscilaciones. Cuando

F = k x

$F=kx$ la fuerza ya no es restaurativa, pero sigue siendo útil para usar la variable definida

ω = \sqrt{k / m}

$\omega=\sqrt{k/m}$ . En otras palabras,

ω

$\omega$ ayuda a determinar la calidad del movimiento, y luego, dependiendo de ese movimiento, podemos llamarlo frecuencia angular.

Sierra

Una vez más dije "línea recta" cuando quise decir "no oscilatorio". De todos modos, creo que respondiste: si la F no fuera restaurativa, si el movimiento no fuera oscilatorio, no usarías \omega, usarías v, ¿verdad?

biofísico

@Sierra Parece que está confundiendo la frecuencia angular con la velocidad angular (lo cual tiene sentido ya que ambos se denotan típicamente por

ω

$\omega$ ). Movimiento bajo la fuerza

F = - k x

$F=-kx$ exhibe oscilaciones en línea recta con una frecuencia angular

ω = \sqrt{k / m}

$\omega=\sqrt{k/m}$ . Cuando

F = k x

$F=kx$ entonces

ω

$\omega$ todavía caracteriza el movimiento, pero no se ve como una frecuencia. Ninguno de los ejemplos implica una velocidad angular

d θ / d t

$d\theta/dt$ , que parece que piensas

ω

$\omega$ representa aquí.

Sierra

Así que... centrándose en

F = k x

$F=kx$ (movimiento no oscilatorio), donde no hay ciclo, puede ser la razón para seguir usando

ω

$\omega$ ¿Será que se considera como una especie de velocidad promedio dentro del lapso de tiempo relevante, que actuaría como el período?

biofísico

@Sierra en ese sistema

ω

$\omega$ no puede representar una velocidad o período promedio porque las unidades no son las mismas, además el desplazamiento y la velocidad crecen exponencialmente. en ese sistema

ω

$\omega$ simplemente caracteriza el crecimiento exponencial. Supongo que podrías decir en un momento

1 / ω

$1/\omega$ el desplazamiento y la velocidad aumentan por un factor de

e

$e$ aunque.

knzhou · Answer 2

Por supuesto, $e$ es omnipresente en cinemática. Por ejemplo, considere una fuerza repulsiva proporcional a $x$ ,

F = k X .

$F = kx.$ Entonces la aceleración es

a = \frac{k}{metro} X = ω^{2} X, ω = \sqrt{\frac{k}{metro}} .

$a = \frac{k}{m} x = \omega^2 x, \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}.$ Esta ecuación diferencial tiene soluciones de la forma

e^{ω t}

$e^{\omega t}$ y

e^{- ω t}

$e^{- \omega t}$ . En particular, supongamos que

x (0) = 1

$x(0) = 1$ y

v (0) = ω

$v(0) = \omega$ . En ese caso la solución es exactamente

X (t) = {mi}^{ω t} .

$x(t) = e^{\omega t}.$ En general, para cualquier ley de fuerza lineal, las soluciones serán exponenciales o exponenciales complejas, por lo que honestamente es difícil evitar usar

e

$e$ .

Pregunté erróneamente sobre un papel en la cinemática en general, mientras que probablemente debería haberme referido a la cinemática en línea recta. Tengo menos problemas para identificar e en fenómenos oscilatorios, como ondas u osciladores armónicos. Pero tu respuesta es muy útil de todos modos.
@Sierra Este es un movimiento en línea recta: todo está a lo largo del $x$ -eje.
Estas en lo correcto, por su puesto. Estoy siendo muy impreciso… En realidad lo que quise decir es: en un contexto no oscilatorio, es decir, un cuerpo que se mueve sin viaje de ida y vuelta, por ejemplo uno que se mueve en línea recta sin cambio de dirección. He editado la pregunta en este sentido.
@Sierra Esto no es movimiento oscilatorio, la función $e^{\omega t}$ no oscila
Nuevamente tienes razón, estaba viendo lo que no estaba ahí: no hablaste de un resorte oscilante, no pusiste una i en el exponente…, pero me estaba imaginando ambas cosas… Pero ¿qué tal un ejemplo en el que la gravedad actúa paralelamente la velocidad del cuerpo? ¿Quizás e no aparece en tal caso porque aquí la fuerza es inversamente proporcional a la distancia al cuadrado (no lineal)?
@Sierra En general $e$ aparece cuando se resuelven ecuaciones diferenciales lineales, por ejemplo, cuando la fuerza tiene un término lineal en $x$ o $v$ . Para ecuaciones diferenciales no lineales, ¡todo vale!
Me pregunto por qué, si la función no oscila, usas omega en el exponente, que generalmente denota una frecuencia. También me pregunto si un ejemplo también podría ser un automóvil en el que pisas progresivamente el acelerador (¿en proporción al desplazamiento?)
Si $x(t)=e^{\omega t}$ , entonces $x(1)=e^\omega$ . ¿Quiso decir $\omega=1$ ¿también? ¿O quisiste decir $x(1/\omega)=e$ ?
@AaronStevens Tienes toda la razón, no estoy seguro de a dónde iba con esa declaración.
Eso no es cinemática. La cinemática no tiene en cuenta las fuerzas. Es solo las relaciones entre la velocidad de posición y la aceleración.

Juan Alexiou · Answer 3

número de Euler ${\rm e}$ aparece en muchas situaciones en dinámica, pero no tantas en cinemática. Cualquier ejemplo dado que involucre algún tipo de definición de fuerza o integración de aceleración es un ejemplo en dinámica. Pero usted está preguntando acerca de la cinemática. La cinemática es el estudio de los movimientos permisibles.

Personalmente, no puedo pensar en ninguna que involucre ${\rm e}$ , excepto tal vez partículas que se mueven a lo largo de caminos que ya tienen ${\rm e}$ en sus definiciones. Por ejemplo, una forma de catenaria. Y esos me parecen inventados.

La verdadera respuesta sería aquella en la que ${\rm e}$ surge naturalmente, fuera del proceso si diferenciando el camino para obtener velocidad o aceleración. Pero si la derivada implica ${\rm e}$ entonces también se deben diferenciar las cosas, y entonces volvemos a los ejemplos anteriores.

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Sierra

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