Buscando una prueba de una identidad combinatoria interesante

Como dijiste en el comentario, solo estás tratando de reemplazar$\nu$y$\mu$(pero no$L$) por números complejos. No necesitas el$\Gamma$-función para eso; un coeficiente binomial de la forma$\dbinom{x}{k}$se define de la forma habitual (es decir, como$\dfrac{x\left(x-1\right)\cdots\left(x-k+1\right)}{k!}$) cuando sea$x$es un número complejo y$k$es un entero no negativo. (El$\Gamma$-función solo se vuelve necesaria si desea extenderla de manera no trivial a valores no enteros de$k$; incluso entonces, no está claro si dicha extensión es la más útil).

Además, tu identidad (1) es una igualdad entre dos polinomios en$\nu$y$\mu$(cuando$L$se mantiene constante). El "truco de la identidad polinomial" dice que si tal igualdad se cumple siempre que$\nu$y$\mu$son enteros no negativos, entonces también debe ser válido para números complejos arbitrarios$\nu$y$\mu$. Como usted (presumiblemente) tiene una prueba de (1) en el caso siempre que$\nu$y$\mu$son enteros no negativos, automáticamente obtiene una prueba de (1) para números complejos arbitrarios$\nu$y$\mu$. No se requieren más argumentos (aunque, por supuesto, puede optar por presentar una prueba diferente).