Autoenergía divergente de cargas puntuales en electrodinámica clásica

Suponiendo que el electrón sea una partícula puntual clásica, si se calcula la energía propia se encuentra

$$U=\frac{e^2}{8\pi\epsilon_0r}$$ que diverge como$r\rightarrow 0$.

Esta fórmula es el resultado del cálculo de la energía potencial electrostática de un sistema de partículas cargadas distribuidas en diferentes puntos del espacio. La distribución habitual empleada para este cálculo es una densidad de superficie uniforme en una esfera de radio$r$, o densidad de volumen uniforme en una bola de radio$r$. No tiene sentido hacer este cálculo para una sola partícula cargada existente en un punto. Entonces, su afirmación anterior es incorrecta; para la partícula puntual clásica, no tenemos forma de calcular su propia energía y llegar a esta fórmula. El cálculo tiene que hacerse para algún sistema de partículas, cuyo tamaño está descrito por$r$.

Por lo tanto, la masa medida del electrón debe ser

$$m_{0e}+U/c^2=m_e.$$

Sí, este es el llamado efecto de masa electromagnético; La energía EM asociada con las interacciones EM internas en un sistema cargado (energía potencial electrostática) se manifiesta como una modificación de su masa inercial efectiva. Este puede ser positivo o negativo, en caso de que las partes del sistema tengan carga del mismo signo, es positivo.

¿Por qué es un problema que en la electrodinámica clásica, la energía propia de un electrón puntual diverja? La divergencia en$U$puede ser absorbido en$m_{0e}$que es inobservable como se hace a menudo en la renormalización.

"La energía propia de un electrón puntual diverge" es el resultado de la aplicación injustificada de 1) la fórmula de energía de Poynting para calcular la energía de interacción EM dentro de una partícula puntual, o 2) tratando de calcular el límite$\lim_{r\to 0} U$y suponiendo que este límite (que es infinito) es un resultado válido para la partícula puntual. Ambos métodos dan energía infinita. Pero esto simplemente dice que o bien

1. el valor de la fórmula de energía de Poynting para el campo de carga puntual es infinito, o
2. comprimir la carga distribuida espacialmente en un punto requiere energía infinita.

Pero esto no implica que todas las cargas puntuales tengan que estar asociadas con energía real infinita (en el sentido de trabajo previamente realizado almacenado, o energía extraíble disponible para realizar trabajo más tarde). Tal vez la energía de la carga puntual no esté dada por la fórmula de Poynting, y tal vez la carga puntual no sea el resultado de la compresión de la carga distribuida espacialmente en un punto.

¿Es "la energía propia de un electrón puntual diverge" un problema? Depende de otras suposiciones. Si considera que la fórmula de energía de Poynting no es válida para las partículas puntuales, entonces esta es solo la propiedad matemática de la energía de Poynting de la partícula puntual, sin ninguna relevancia física, por lo que no es un problema; la energía de los electrones simplemente no está dada por la fórmula de Poynting. Esto está estrechamente relacionado con la opinión de que las partículas puntuales no actúan sobre sí mismas = no hay interacción propia en las partículas puntuales. Este punto de vista ha sido analizado y desarrollado en una teoría consistente de partículas puntuales cargadas por muchas personas en el pasado, como Tetrode, Fokker, Frenkel y la colaboración Feynman-Wheeler.

Si cree que esta energía infinita de Poynting es energía real que tuvo que usarse en el pasado para ensamblar la partícula puntual, o energía que puede liberarse de alguna manera, entonces el hecho de que esta energía sea infinita es problemático ., porque predice una bomba potencial infinitamente fuerte en cada partícula puntual. Además, no existe una teoría consistente de partículas puntuales con energía propia EM infinita; dicha teoría tiene que involucrar energía no EM, por lo tanto, fuerzas no EM y también tiene que explicar la energía de radiación como pérdida de energía propia a través de la interacción propia. Tal autointeracción de partículas puntuales no puede describirse consistentemente en el marco de las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz (de modo que se satisfagan la conservación de energía local y las ecuaciones de movimiento). Habría que modificar la teoría para que las cosas funcionaran de manera muy diferente y la autointeracción de EM fuera de alguna manera finita y consistente con la energía de radiación, mientras que la autoenergía de EM es infinita. Esto se intentó muchas veces, pero nunca se encontró una solución convincente.

Esto se presenta como un problema en los libros de texto porque a menudo se equipara$m_ec^2=U$, y olvídate de$m_{e0}$. Pero no veo una razón por la cual$m_{e0}$debe ser descuidado. Consulte la página 28 aquí .

Tiene razón, el hecho de que las fuerzas que no son EM deben estar presentes para mantener unida la carga (y cancelar el infinito positivo de energía por el infinito negativo de energía) a veces se omite.

Los libros de texto de EM no suelen ser muy buenos en este tema. Probablemente porque este problema con la energía EM infinita y la autointeracción de las partículas con carga puntual se resolvió hace mucho tiempo, pero la solución (sin autointeracción y las fórmulas de Poynting no son aplicables a las partículas puntuales) es muy diferente de lo que la gente esperaba. (teoría consistente de la auto-interacción de las partículas puntuales). Además, no surgió una gran revelación. Así que la solución no es bien conocida y aceptada como parte de la física. Este tema todavía se considera un área turbia de campo minado.

De hecho, este no es un problema fundamental, porque la electrodinámica clásica es solo una descripción aproximada de la electrodinámica válida en algún límite de escala apropiado. Si uno intenta formular tal teoría aproximada completamente divorciada de las leyes fundamentales reales de la Naturaleza, entonces uno típicamente encuentra problemas cuando ingenuamente toma límites a escalas donde la teoría no debería ser válida.

Un problema no trivial en la electrodinámica clásica donde se necesita una renormalización es el tratamiento riguroso de la radiación electromagnética. Si bien se puede calcular la radiación emitida por las cargas aceleradas sin problema, la reacción inversa de la radiación emitida sobre las cargas generalmente se ignora. Por ejemplo, el libro de OP contiene un cálculo de la radiación emitida por los púlsares, menciona que estos púlsares se ralentizan debido a la conservación de la energía, pero no se señala que esto implica que la ecuación de fuerza de Lorentz como se menciona en el libro debe ser incorrecta como no contiene ningún término que pueda ejercer un par sobre un imán que gira libremente en el espacio vacío.

Lo que debe incluirse, por lo tanto, es la fuerza ejercida sobre una carga debido a su propio campo electromagnético, pero esto es divergente para las cargas puntuales. Un tratamiento riguroso de la fuerza propia se dio recientemente en este artículo .

En general, los métodos análogos de los grupos de renormalización utilizados en QFT deberán invocarse en todas las disciplinas físicas donde los grados de libertad residen en escalas de longitud arbitrariamente pequeñas (por ejemplo, dinámica de fluidos), tan pronto como uno sea lo suficientemente riguroso. El hecho de que normalmente no veamos tales métodos aplicados en los libros de texto se debe a que normalmente no tratan el tema de manera rigurosa.