Área de referencia para encontrar el campo magnético dentro de un capacitor de (des)carga

Parece que estás preguntando sobre la Ley Ampere-Maxwell,

$$\oint_{\Gamma}{\mathbf{B}\cdot\,d\mathbf{l}} = \mu_0\int_\mathcal{S}{\mathbf{J}\cdot\,d\mathbf{a}} + \mu_0\epsilon_0\,\frac{d}{dt}\int_\mathcal{S}{\mathbf{E}\cdot\,d\mathbf{a}}. \tag{1}$$ Aquí,$\Gamma$es un lazo cerrado fijo en el espacio y$\mathcal{S}$es cualquier superficie limitada por$\Gamma$. Entonces, sí, tenemos cierta libertad para elegir la superficie a través de la cual calcular el flujo de$\mathbf{J}$y$\mathbf{E}$.

El punto es que el RHS de Eq.$(1)$es el mismo, independientemente de la superficie que elijamos (siempre que todavía esté delimitada por el bucle$\Gamma$). Esto se debe a que la combinación$\mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$no tiene divergencias (ver el final de la publicación), como podemos mostrar rápidamente usando la ecuación de continuidad y la Ley de Gauss:

$$\begin{split} \nabla\cdot\left(\mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) &= \nabla\cdot\mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\nabla\cdot\mathbf{E}\right) \\ &= -\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0. \end{split}$$ (Alternativamente, podríamos haber notado que$\mathbf{J} + \epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$es el rizo de$\mathbf{B}/\mu_0$, y la divergencia de un rotacional siempre es cero.)

Teorema : Sea un campo vectorial$\mathbf{A}$ser sin divergencia. Entonces para un ciclo dado$\Gamma$, el flujo de$\mathbf{A}$es el mismo a través de cualquier superficie limitada por$\Gamma$.

Prueba : Llamada$C_1$el flujo de$\mathbf{A}$fuera de una superficie$\mathcal{S}_1$delimitada por$\Gamma$y$C_2$su flujo a través de una segunda superficie$\mathcal{S}_2$, también delimitada por$\Gamma$. el flujo de$\mathbf{A}$fuera de la superficie cerrada formada por$\mathcal{S}_1$y$\mathcal{S}_2$es cero (por el teorema de la divergencia), entonces$C_1 = C_2$.

De su descripción, sospecho que su confusión surge porque hasta ahora se ha encontrado con la ley de Faraday siempre junto con un bucle de alambre o con una bobina (compuesta por varios bucles de alambre). Pero esto no es necesario. La ley de Faraday es independiente de cualquier cable. En realidad, la ley de Faraday es solo una relación entre el campo eléctrico$\mathbf E$y el campo magnetico$\mathbf B$.

$$\oint_C \mathbf E\ d\mathbf l = - \frac{d}{dt} \int_A \mathbf B\ d\mathbf A$$ dónde$C$es una curva cerrada que encierra un área$A$. La integral del lado derecho es el flujo magnético (o el número de líneas de campo magnético) que pasa por el área$A$. Tenga en cuenta que esta formulación no menciona ningún cable en absoluto. Pero, por supuesto, para aplicaciones técnicas con cables, tiene sentido elegir la curva$C$a lo largo del bucle de alambre.

Y ahora para su problema con un condensador de (des)carga. Tenemos una situación similar a la anterior para la ley Ampere-Maxwell :

$$\frac{1}{\mu_0}\oint_C \mathbf B\ d\mathbf l = I_\text{enclosed} + \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int_A \mathbf E\ d\mathbf A$$ La integral del lado derecho es el flujo eléctrico (o el número de líneas de campo eléctrico) que pasa por el área$A$. Puedes elegir cualquier curva cerrada$C$quieres. Pero para propósitos prácticos (calcular el campo magnético dentro del capacitor) tendrá más sentido usar un círculo o un cuadrado paralelo a las placas del capacitor.