Aproximación de difracción de Fresnel (ondas parabólicas)

El principio de Huygens-Fresnel ( Introducción a la óptica de Fourier , Goodman),

tu ( X , y ) = z i λ ∫ Σ tu ( ξ , η ) mi i k r r d ξ d η ,

dónde porque ⁡ θ = z r , muestra que el campo producido por una fuente puntual se propaga como ondas esféricas debido a la fase k → ⋅ r → . ¿Es seguro decir que en la aproximación de Fresnel,

tu ( X , y ) = mi i k z i λ z ∫ tu ( ξ , η ) mi i k 2 z [ ( X − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 ] d ξ d η ,

el campo se propaga como ondas parabólicas, ya que la fase toma la forma de un paraboloide?

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¿alguien sabe si podemos decir eso?

Respuestas (1)

Tuve esta duda una vez. La forma de un frente de onda es una superficie de fase constante en el espacio. Entonces, cuando combinas mi i k z & mi i k 2 z [ ( X − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 ] , la fase total resulta ser k z + k 2 z [ ( X − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 ] y cuando encuentras las superficies de fase constante resultan ser elipses. Los frentes de onda parabólicos se realizarán cuando asuma que cuando z varía, la variación en k 2 z [ ( X − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 ] es mucho menor que la variación en k z debido a la variación en z. Esto se puede justificar tomando derivadas parciales de ambos k 2 z [ ( X − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 ] & k z con respecto a z, encontrará que la variación debida a z en el denominador es menor, porque su derivada implica 1 z 2 , que la variación debida a z en el numerador ya que no implica ninguna 1 z 2 especie de término decreciente. Entonces, puedes tratar z en el denominador de k 2 z [ ( X − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 ] como una constante, digamos c, y en k z como variable. La superficie de fase constante tendrá la ecuación como

k z + k 2 C [ ( X − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 ] = γ
,dónde γ es la fase constante de una superficie. Esto te da un paraboloide con su eje como X = ξ & y = η y vértice como ( ξ , η , γ k ) . A medida que cambia la fase, cambia el vértice del paraboloide.

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