Fórmula de difracción de Kirchhoff utilizando la longitud de onda de electrones de De Broglie

¡Sí! De hecho, la teoría de la difracción de Kirchhoff se puede aplicar tanto a las ondas de luz como a las de materia. El resultado original al que te refieres se puede derivar de una teoría escalar, y tenemos como de costumbre,

$$\Psi(r') = \frac{1}{4\pi}\iint_S \left[ \Psi(r_S)e_n \cdot \nabla \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|} - \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|}e_n \cdot \nabla \Psi(r-S)\right]d^2r_S$$

que da una solución exacta, dado el valor de la solución en una superficie limítrofe$S$. Ahora le aconsejo que lea este documento que mostrará una derivación del análogo de la ecuación de Dirac.

El resultado final nos dará,

$$\Psi(r') = -\frac{ik}{4\pi}\iint_S \frac{e^{ik|r_S-r'|}}{|r_S-r'|} \left[1- \left( 1+\frac{i}{ks}\right)\gamma^j (\partial_js) \right]\gamma^n \Psi(r_s)\, d^2r_S$$

dónde$\Psi$es un espinor de Dirac en su lugar, y se han introducido muchas notaciones nuevas; Por ejemplo$\gamma$aquí no son las matrices gamma habituales que satisfacen$\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}\mathbb{1}$.

El análogo a considerar$\Psi(r) = \frac{e^{ikr}}{r}$en el caso de la onda clásica aplicada a esta fórmula derivada de la ecuación de Dirac se mostrará que para un espinor de Dirac, esperamos,

$$\Psi(r') \propto \iint \frac{e^{ik(r_0+s)}}{r_0 s}(1+\gamma^3) \gamma^3 \Psi(r_s)\, dS$$

sujeto a ciertas condiciones de contorno.