Leí sobre el límite geométrico de la teoría ondulatoria. La fuente de donde leí tenía una explicación ligeramente diferente para proporcionar que aquí (la respuesta más rigurosa es demasiado complicada para que la entienda). Aunque tampoco entiendo completamente el método más fácil en la pregunta vinculada, me gustaría entender qué está tratando de decir el formulario fuente donde leo:
Una apertura de tamaño iluminado por un haz paralelo envía un haz difractado (el máximo central) con un ancho angular de aproximadamente . Viajando una distancia , adquiere el ancho debido a la difracción. La distancia a la que este ancho es igual al tamaño de la apertura se denomina distancia de Fresnel . . Es la distancia más allá de la cual la divergencia del haz de ancho se vuelve significativo. A distancias menores que , el esparcimiento debido a la difracción es menor que el ancho del haz, y a distancias mayores que , la propagación debida a la difracción domina sobre la debida a la óptica de rayos ( es el ancho de la abertura)
No veo el significado detrás de esta línea de argumentación. ¿La óptica de rayos es válida para distancias inferiores a la distancia fresnel? ¿No es que la validez se mantiene cuando todos los objetos son cómodamente más grandes , y no más pequeños, que la longitud de onda de la luz? ¿Cómo se relaciona la "divergencia" debida a la difracción y su equivalencia al ancho de apertura con el límite geométrico de la teoría ondulatoria?
Para comprender esta explicación, debe comprender la descomposición de Fourier del campo electromagnético.
En cualquier medio homogéneo, cualquier campo electromagnético se puede considerar como una superposición lineal de ondas planas, todas en diferentes direcciones. Debido a que corren en diferentes direcciones, los retrasos de fase que experimentan al propagarse desde, digamos, su apertura a otro plano paralelo son todos diferentes. Por lo tanto, el frente de onda se "codificado" debido a estos retrasos de fase dependientes de la dirección. Esta interferencia entre los diferentes componentes de onda plana del campo electromagnético es lo que comúnmente llamamos "difracción". Explico más esta idea, así como dibujo algunos diagramas en esta respuesta aquí , así como en esta aquí .
Entonces, con esta introducción en mente, veamos tu párrafo. Para simplificar, asuma solo una dirección transversal y una dirección axial (en la dirección de propagación). Supongamos también la óptica escalar , es decir, que el campo electromagnético está bien representado por el comportamiento de uno de sus componentes cartesianos, por lo que podemos hacer la óptica de Fourier en el campo escalar.
Entonces tenemos una apertura uniformemente iluminada de ancho . Su perfil transversal es por lo tanto la función dónde y . Tomamos una transformada de Fourier para encontrar los pesos de superposición de cada componente de onda plana, porque cada componente tiene una variación transversal dónde es la variable transformada de Fourier con unidades de longitud recíproca. La distancia de Fresnel es, como dice el párrafo, simplemente la distancia axial necesaria para que esta extensión duplique el ancho del haz. Por lo tanto, es una medida aproximada de la rapidez con la que se propaga la luz.
Así es como surge la "divergencia" de la difracción, es decir, la interferencia entre los componentes de onda plana de un campo óptico a medida que se propagan. También dónde define el ángulo que forma esta componente de onda plana con la dirección axial. Tomamos la transformada de Fourier, encontramos que hay una dispersión de valores tales que las componentes de la onda plana más sesgadas en la dirección axial forman un ángulo sin dirección de aproximadamente . Entonces, debido a estos componentes sesgados, la energía del campo se dispersa.
El ancho del haz diverge lentamente al principio y luego, después de una distancia axial de varias distancias de Fresnel, la divergencia se acelera de modo que la propagación queda bien modelada por el cono de rayos que divergen desde el centro de la apertura. De hecho, si traza contornos de intensidad constante, son hipérbolas que comienzan en ángulo recto con la apertura pero se doblan de modo que sus asíntotas son el cono definido por la teoría de rayos. La distancia de Fresnel define qué tan lejos está la "rodilla" de la hipérbola de la apertura.
Para su pregunta:
¿No es que la validez se mantiene cuando todos los objetos son cómodamente más grandes y no más pequeños que la longitud de onda de la luz?
En general, esto es correcto, pero se descompone en los focos cercanos y en situaciones como esta en las que estamos cerca y la apertura y si la apertura es comparable a la longitud de onda de la luz. En este caso, debería poder comprender a partir del análisis de Fourier la relación recíproca entre el ancho de apertura y la dispersión angular.
La distancia hasta la cual el ancho de los máximos centrales es igual al tamaño de la apertura y después de la cual los máximos centrales se vuelven más grandes que el tamaño de la apertura.