Aplicaciones de la Topología Geométrica a la Física Teórica

En 2 dimensiones, los TQFT están dados por álgebras de Frobenius. Este hecho se puede ver evaluando el funtor TQFT en bloques de construcción básicos de variedades 2d: pares de pantalones y discos. Estos dan la multiplicación y trazan en el álgebra de Frobenius.

Subiendo en dimensión, cada 3-variedad cerrada se puede obtener mediante una cirugía de$S^3$a lo largo de un enlace. Esto permitió a Reshetikhin y Turaev definir invariantes de 3 variedades con enlaces dada una categoría de tensor modular. Resultó que estas invariantes se organizan en una TQFT 3-2-1, lo que da la TQFT de Chern-Simons de Witten cuando la categoría del tensor modular es$U_q(\mathfrak{sl}_N)$($q$es una raíz de unidad).

De manera más general, la prueba de la hipótesis del cobordismo debido a Lurie (clasificando los TQFT completamente extendidos) utiliza la teoría de Morse para construir$n$-colectores de$(n-1)$-variedades con asas adjuntas (construcción inductiva de la categoría de cobordismos por generadores y relaciones).

Ideas similares (cortar y pegar) se han aplicado a muchas áreas. Por ejemplo, Eliashberg et al. desarrolló la teoría del campo simpléctico, que, en particular, permite calcular las invariantes de Gromov-Witten de variedades simplécticas cerradas reduciéndolas a objetos más simples.

(lo siento, no tengo suficiente reputación para hacer un comentario): esta pregunta es muy amplia/vaga, ya que, de hecho, la topología algebraica/diferencial (geometría simpléctica, por supuesto) se usa completamente en física teórica, en particular para QFT topológicos. Desde la perspectiva de un físico, comience con Geometría, topología y física de Nakahara . La cirugía, el cobordismo y similares se utilizan en la teoría de nudos, que Witten ha estado estudiando para la teoría de cuerdas y otras TQFT.

Y creo que el tema 'más genial' para empezar es el Teorema de Gauss-Bonnet, ya que aparece en el funcional de acción.

hay una serie de artículos que usan resultados de 4 múltiples (estructuras lisas exóticas en R^4, manijas de casson, nudos rebanadores, corchos akbulut, etc.) para hacer afirmaciones en física desde la gravedad hasta la energía oscura. Puede comenzar aquí http://arxiv.org/abs/1112.4882 y hacer clic.

Si te gustan los mangos Casson, te encantará la suavidad exótica. Básicamente, con una torre infinita de manijas Casson, se puede construir una variedad que sea homeomorfa pero no difeomorfa a la "habitual"$\mathbb{R}^4$. La idea es empujar los puntos Morse (lo que mostraría un cambio topológico) "hacia el infinito" para que se mantenga la equivalencia topológica pero ahora no hay difeomorfismo entre el mango de Casson y un subconjunto de$\mathbb{R}^4$. Exótico$\mathbb{R}^4$, a su vez, se puede utilizar para modelar la materia oscura y tiene numerosas aplicaciones en la gravedad cuántica.

Se puede encontrar una buena revisión de física en el texto de Asselmeyer-Maluga y Brans, y una buena referencia matemática es Scorpan, The Wild World of 4-Manifolds . La investigación actual incluye documentos de archivo (la mayoría de los cuales se han publicado en alguna parte): 9610009, 1101.3168, 1112.4882.

Bueno, me gustaría dar una perspectiva diferente al hilo de pensamiento aquí. La topología geométrica y sus campos relacionados son importantes en el estudio de láminas y membranas elásticas y sus variantes d-dimensionales. En particular, la comprensión de las transformaciones topológicas de las vesículas o láminas de membrana es un problema no trivial y abierto. En una nota relacionada, los análogos 1-d de las membranas son polímeros y la teoría de nudos juega un papel importante en el estudio y clasificación de los fenómenos de entrelazamiento en soluciones de polímeros densos. La homotopía se ha utilizado más ampliamente desde hace bastante tiempo, en el contexto de la clasificación de defectos topológicos tanto en teorías de campo como en sistemas de materia condensada.