Anualidad creciente donde el flujo de efectivo crece por segundo año

Aquí hay una fórmula para el saldo al comienzo del año.n

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + (1 + i) (-2^Floor[(1 + n)/2] - 
            2^Floor[n/2] (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

La función Piso está disponible en Excel. Esta es una implementación de Excel.

Una versión sin uso de Floor es

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
        (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

Derivación de fórmulas

Aquí está la derivación. Con intereses ial 10% e inicial pmt.

i   = 0.1
pmt = 100

El saldo al comienzo del año 1 es 0. Al final del año 1 se realiza un pago por lo que el saldo al comienzo del año 2 es pmt. El próximo pago (el segundo) es el doble, etc.

p1 = 0
p2 = p1 (1 + i) + pmt
p3 = p2 (1 + i) + 2*pmt
p4 = p3 (1 + i) + 2*pmt
p5 = p4 (1 + i) + 2^2*pmt
p6 = p5 (1 + i) + 2^2*pmt
p7 = p6 (1 + i) + 2^3*pmt
p8 = p7 (1 + i) + 2^3*pmt
p9 = p8 (1 + i) + 2^4*pmt = 5437.33
p10 = p9 (1 + i) + 2^4*pmt = 7581.06

Otra forma de expresar p10es

p[9 + 1] = p[9](1 + i) + 2^Floor[9/2]*pmt

Entonces esto se puede resolver usando Mathematica

RSolve[{p[n + 1] == p[n] (1 + i) + 2^Floor[n/2]*pmt, p[1] == 0}, p[n], n]

La fórmula calcula correctamente el saldo al comienzo del año especificado.

p[n] = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + (1 + i) (-2^Floor[(1 + n)/2] - 
         2^Floor[n/2] (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

p[9]  = 5437.33
p[10] = 7581.06

Las funciones de piso pueden ser reemplazadas

Floor[(1 + n)/2] = 1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n + 2 (-1)^n n)

and Floor[n/2] = 1/4 (-1)^n (1 + (-1)^(1 + n) + 2 (-1)^n n)

donación

p[n] = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
        (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

Por ejemplo, el saldo al comienzo del año 9

i   = 0.1
pmt = 100
n   = 9

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pmt + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
        (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pmt)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)
= 5437.33

Método alternativo

La misma solución también se puede encontrar como la forma cerrada de una sumatoria.

La suma para el ejemplo se vería así

i   = 0.1
pmt = 100
n   = 9

balance = 2^0 pmt (1 + i)^(n - 1 - 1) +
          2^1 pmt (1 + i)^(n - 2 - 1) + 2^1 pmt (1 + i)^(n - 3 - 1) +
          2^2 pmt (1 + i)^(n - 4 - 1) + 2^2 pmt (1 + i)^(n - 5 - 1) +
          2^3 pmt (1 + i)^(n - 6 - 1) + 2^3 pmt (1 + i)^(n - 7 - 1) +
          2^4 pmt (1 + i)^(n - 8 - 1)
= 5437.33

Cálculo básico del valor futuro

Lo anterior contrasta con el cálculo básico sin ninguna duplicación como tal.

i   = 0.1
pmt = 100
n   = 9

Cálculo iterativo

p1 = 0
p2 = p1 (1 + i) + pmt
p3 = p2 (1 + i) + pmt
p4 = p3 (1 + i) + pmt
p5 = p4 (1 + i) + pmt
p6 = p5 (1 + i) + pmt
p7 = p6 (1 + i) + pmt
p8 = p7 (1 + i) + pmt
p9 = p8 (1 + i) + pmt = 1143.59

Cálculo de suma

balance = pmt (1 + i)^0 +
          pmt (1 + i)^1 + pmt (1 + i)^2 +
          pmt (1 + i)^3 + pmt (1 + i)^4 +
          pmt (1 + i)^5 + pmt (1 + i)^6 +
          pmt (1 + i)^7
= 1143.59

Derivación de fórmulas

balance = ((-1 + (1 + i)^(-1 + n)) pmt)/i = 1143.59

Si el objetivo es obtener una solución analítica, puede calcular el valor futuro de las inversiones realizadas en años pares e impares por separado y luego sumarlos. Cada uno puede aplicar la fórmula de valoración estándar en términos de intervalos de 2 años en lugar de intervalos de 1 año, ya que la unidad de tiempo es arbitraria. El monto de la inversión aumenta en un 100 % en cada intervalo y la tasa de interés efectiva es (1 + 0.01i)^2 - 1. Asimismo, el tiempo se mediría en intervalos de 2 años.

Se me ocurrió una versión de esto que me da la respuesta incorrecta, ¿alguien puede indicarme dónde me estoy equivocando?

def investment(PMT, n, i):
    for x in range(1,n):
        if x==2:
            invest_even=PMT*2**(x/2)
            FV_even= invest_even*((1+i)-1)/i
        else: 
            invest_odd=PMT*2**((x-1)/2)     
            FV_odd=invest_odd*((1+i)-1)/i
        x+=1
        investment_balance=(FV_even+FV_odd)
        return round(investment_balance, 2)

Respuesta en código de Mathematica

i = 0.1;
pmt = 100;
n = 9;

fvOdd = fvEven = 0;

For[x = 1, x < n, x += 1,
  If[Mod[x, 2] == 0,
   investEven = pmt*2^(x/2);
   fvEven += investEven*(1 + i)^(n - x - 1)
   ,
   investOdd = pmt*2^((x - 1)/2);
   fvOdd += investOdd*(1 + i)^(n - x - 1)
   ]
  ]

balance = fvOdd + fvEven

5437.33