Digamos que estamos lanzando un proyectil y queremos que llegue al máximo a una altura de 0,5 g, que, si se le da a la Tierra, llega a unos 9000 km. (En esto, estoy usando g como la gravedad en la superficie, no como la gravedad experimentada por el objeto). Ahora, entiendo completamente cómo lanzar un proyectil a 9000 km con una gravedad constante. En esto, , y suponiendo que h = 9.000 km y que g = 9,8 m/s, obtenemos 13.300 m/s.
Sin embargo, especialmente cuando el proyectil se acerca a esta altura, la fuerza de gravedad experimentada por este objeto no es constante. Debido a esto, 13 300 m/s es mayor que la velocidad de escape, por lo que no tendría altura máxima. No sé cómo encontrar la velocidad del proyectil. Críticamente, la altura depende de la velocidad y el tiempo. La velocidad depende de la gravedad y del tiempo. La gravedad depende de la altura. Como tal, hay una especie de círculo, donde parece que no puedo descifrar uno sin conocer a los demás, y como no conozco a los demás, no puedo avanzar.
Pensé que uno podría usar la recursividad para resolver esto: configurar puntos de tiempo, usar la altura del punto de tiempo anterior, calcular la gravedad, luego usar esta gravedad para calcular cuánto disminuirá la velocidad en el próximo punto de tiempo, y usar todo esto para calcular la siguiente altura, pero esta "solución" solo ofrece una aproximación, es inexacta y computacionalmente intensiva. Se requeriría un programa, y esperaba que los resultados pudieran obtenerse con una calculadora en lugar de un programa de computadora.
Siéntete libre de ignorar la resistencia del aire y asume que la altura inicial es 0. Si es necesario para la solución o un ejemplo, siéntete libre de asumir que estamos hablando de la Tierra.
Dados estos parámetros, ¿cuál sería la fórmula de la velocidad vertical inicial requerida para alcanzar cierta altura, dado que tal altura es lo suficientemente alta como para que la fuerza de gravedad cambie?
Como dijiste para ignorar la resistencia del aire, etc., la forma más fácil de encontrarla es conservando la energía, ya que la fuerza gravitacional es conservadora.
Digamos que disparas un proyectil con velocidad v desde la superficie "perpendicularmente", siendo R el radio de la Tierra y alcanza una altura h desde el centro.
Tomando la energía potencial como 0 en el infinito,
Energía mecánica inicial=Energía mecánica final
Entonces
Esto se debe a que la velocidad final es 0, suponiendo que alcanza esa altura y vuelve a caer.
Puedes encontrar v de esto.
Creo que quisiste decir lanzar el cohete perpendicularmente. Si se lanzó en ángulo, se requerirían algunos cambios leves junto con la conservación del momento angular.