¿"Adónde" va la entrofia disipada?

Todos estamos familiarizados con la disipación de energía cinética y cómo se convierte en calor que puede irradiarse o convertirse en energía interna del sistema. En la ecuación de transporte de enstrofia:

∂ Ω 2 ∂ t + tu j ∂ Ω 2 ∂ X j = ω i S i j ω j + v ∂ 2 Ω 2 ∂ X j ∂ X j − Φ 0 Ω 2 = 1 2 ω i ω i Φ 0 = v ∂ ω i ∂ X j ∂ ω i ∂ X j S i j = 1 2 ( ∂ tu i ∂ X j + ∂ tu j ∂ X i )

hay un término de disipación, Φ 0 , muy similar a la de la ecuación de energía cinética. ¿Existe algún mecanismo o "lugar" donde la enstrofia disipada vaya similar a la KE? ¿Se tiene que conservar la enstrofia en el mismo sentido que se tiene que conservar la energía total de un sistema (KE + PE + IE, etc.)?

Algunas personas me han explicado que, dado que la vorticidad es una construcción matemática, entonces no hay un "lugar" al que deba ir la energía disipada. Pero puedes describir la velocidad en el mismo sentido que es una construcción que creamos para representar el movimiento de partículas en el espacio.

Dado que el campo de vorticidad está directamente relacionado con el campo de velocidad (a través del operador rotacional), ¿significa eso que la entrofia disipada está directamente relacionada con la energía cinética disipada? Actualmente estoy intentando reformar y reescribir la ecuación de enstrofia en términos de KE ( 1 / 2 × tu i tu i ) y ver si hay alguna relación directa.

EDITAR:

Es posible reescribir ambos términos de disipación en términos del tensor de velocidad de deformación y velocidad de rotación. Esto da una idea un poco mejor de lo que está pasando, aunque todavía no responde a mi pregunta.

ω i = − ϵ i j k R j k Φ 0 v = ϵ i j k ϵ i norte pag ∂ R j k ∂ X yo ∂ R norte pag ∂ X yo = ( d j norte d k pag − d j pag d k norte ) ∂ R j k ∂ X yo ∂ R norte pag ∂ X yo = 2 ∂ R j k ∂ X yo ∂ R j k ∂ X yo Φ k mi v = ∂ tu i ∂ X j ( ∂ tu i ∂ X j + ∂ tu j ∂ X i ) = ( S i j + R i j ) ( 2 S i j ) = 2 S i j S i j

Al igual que con el impulso, esta es solo una de un conjunto de ecuaciones acopladas. Te estás perdiendo la ecuación de energía total expresada en términos de entrofia. Allí, debe encontrar un término de producción que coincida con su término de disipación de entrofia, lo que indica que, al igual que la disipación de impulso se convierte en energía interna, la disipación de enstrofia se convierte en energía interna.
¿Cuál es la ecuación de energía total en términos de enstrofia? ¿Existe siquiera tal ley de conservación? La ecuación que publiqué tiene un término de producción, a saber, el primer término en el RHS, pero ¿equilibra exactamente la energía que se pierde?
Ver este documento por ejemplo . No trabajo con la formulación de enstrofia, por lo que no puedo dar una respuesta completa. Pero, en términos generales, la enstrofia está directamente relacionada con la cantidad de energía cinética en el flujo. Entonces, es natural que a medida que se disipa la energía cinética, tiene que convertirse en energía interna. Debe haber una expresión de conservación que contenga energía interna y entrofia de alguna forma.
Hola, @Kimusubi, escribí tus ecuaciones usando el formato MathJax que recomendamos aquí . Debe verificar para asegurarse de que todavía estén en lo correcto (no podría decir si eso fue nu o av, y no estoy seguro del subíndice en Φ ). Si desea una guía más completa de MathJax estilo látex, consulte aquí .
Más información sobre la enstrofia: physics.stackexchange.com/search?q=is%3Aq+enstrophy
Muchas de esas otras preguntas no tienen respuesta, al menos no de forma totalmente satisfactoria. ¡Parece que necesito empezar a indagar en mis libros!
@ tpg2114 Creo que ese documento es un muy buen comienzo. Hay muchos pasos que tomaron con los que no estoy muy familiarizado y necesito resolverlos, pero creo que me envían en la dirección correcta. Actualicé mi publicación original con una versión ligeramente modificada de ambos términos de disipación con la esperanza de arrojar más información sobre los mecanismos detrás de la disipación. Realmente no responde a mi pregunta, pero es bastante interesante pensar en ello.

Respuestas (2)

Diría que parte de la respuesta debe ser que cualquier variable dinámica que use, como Enstrophy, Vorticidad, sus posibles análogos, etc., siempre son campos 'filtrados'.

Filtrado en el sentido de que empiezas con el campo de velocidad v → = ∑ tu i mi → i que tiene información completa sobre la dinámica y luego aplica algunos operadores (principalmente integración y diferenciación) además de eso para generar su variable dinámica de interés.

Por lo general, la información se pierde a través de ese proceso. A veces, puedes reconstruir v → de la vorticidad ω → en el caso de fluido incompresible, como ejemplo.

Sin embargo, mi punto aquí es que la disipación de esas variables construidas es siempre, al final, la expresión de la disipación del momento lineal y, por lo tanto, la generación de calor, solo filtrada a través del operador de construcción.

Un mirador muy interesante. ¿Sería posible elaborar un poco más sobre cómo funciona el filtro?
Creo que el argumento más simple para eso es que, si tomas una función, le pones una derivada y quieres volver a la integral, entonces obtienes una constante de integración. Entonces, en cierto sentido, podría decir que ha perdido información donde estaba el nivel cero después de la derivada. Por eso no hay necesariamente una correspondencia 1:1 para v → -campo a vorticidad ω → o Enstrofia Ω . Pierdes aún más información con Ω , ya que es un escalar.
@AtmosphericPrisonEscape: me gusta mucho tu explicación del filtro. Eso es más o menos lo que está sucediendo, pero esperaba una explicación más rigurosa. Actualmente estoy tratando de reformular las ecuaciones de energía en diferentes formas con la esperanza de explicar la equivalencia entre la disipación de KE y la disipación de enstrofia. Hice una pequeña edición en mi publicación original que muestra los términos de disipación en diferentes formas que ayudan a aclarar los mecanismos detrás de ellos.
@Kimusubi: Pero de aquí en adelante es fácil, ¿no? Hay formas populares de la ecuación de energía que contienen explícitamente el tensor de flujo de cantidad de movimiento, sin modelado newtoniano. debería ser algo como ∂ t v i 2 / 2 = v i ∂ j Π i j

Me pregunto si las contribuciones anteriores están complicando demasiado las cosas.

  1. La noción de filtrado es relevante para cualquier cálculo o medida, pero no para las ecuaciones básicas (a menos que me equivoque, en cuyo caso, explique)

  2. Una definición básica de vorticidad establece que es una medida del movimiento local de cuerpo sólido del fluido. Por lo tanto, la destrucción de la entrofia debe relacionarse con el cese del movimiento relativo asociado con la rotación local de un cuerpo sólido. Aunque no menciona la enstrofia por su nombre, BR Morton ("The generation and decay of vorticity" Geophys. Asotrphys. Fluid Dynamics, 1984, vol. 28, 277-308) afirma claramente que "el único medio de decaer o perder la vorticidad es por difusión cruzada y aniquilación de vorticidad de signos opuestos". Dado que la enstrofia es una medida de la intensidad de esa tasa de rotación local, podríamos decir que la destrucción de la entrofia surge de este mecanismo.

  3. Entonces, ¿adónde va la entrofia "destruida" (o mejor (?), se transforma)? La pregunta supone que la enstrofia es una cantidad conservada (como la energía o la masa, pero NO el impulso). La ecuación de la enstrofia en sí desmiente esta idea: si se conservara la enstrofia, simplemente podríamos escribir d(enstrofia)/dt = 0.

Tal vez estoy simplificando demasiado. Pero volver a las definiciones básicas es un buen punto de partida. ¡Estaría agradecido por sus comentarios sobre esto!

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