Definición general de estado estacionario

En pocas palabras, el estado estacionario es un fenómeno puntual , no un fenómeno de sistema global. Para responder a su pregunta, proporcionaré un ejemplo de un sistema de estado estacionario para el cual$\partial p / \partial t = 0$pero$d p / d t \neq = 0.$

Piense en una corriente horizontal de fluido en el$x$-eje que fluye en el$+x$dirección. Suponga que la velocidad del fluido puede cambiar en diferentes puntos a lo largo de la corriente, al igual que el ancho de la corriente, pero en cualquier punto dado a lo largo de la corriente.$x$eje, la velocidad y el ancho permanecen constantes con el tiempo. Este es un sistema de estado estable, si tomo una foto de la corriente en el momento$t = 0s$y toma otra foto a la vez$t = 10 s$, las dos imágenes se verán idénticas. En este intervalo de tiempo, un gran volumen de fluido puede haber pasado por cada punto de la corriente, pero el sistema en su conjunto se ve igual que hace diez segundos.

Dejar$v(x, t)$Sea la velocidad de la corriente en un momento dado$x$posición, y$w(x, t)$sea ​​su ancho. La noción vaga de "estado estacionario" que dimos anteriormente se expresa de manera más rigurosa de la siguiente manera:

Esta corriente está en un estado estable si en cualquier punto dado$x$en la corriente, las cantidades de interés$w(x, t)$y$v(x, t)$son invariables con el tiempo.

Ya que estamos fijando un punto$x$en la corriente, lo anterior equivale a exigir$\frac{\partial v}{\partial t} = \frac{\partial w}{\partial t} = 0.$

Las derivadas totales pueden no ser cero en ninguna parte. Por ejemplo, tenemos

Si el gradiente de velocidad$\partial v / \partial x$es distinto de cero, y la velocidad$d x / d t$en un punto dado es distinto de cero, entonces la derivada total$dv / dt$es distinto de cero. Es decir, si observo una sola partícula del fluido, por supuesto que su velocidad cambia con el tiempo. Se mueve a lo largo de la corriente y la velocidad cambia en diferentes puntos de la corriente.

Pero en cualquier punto dado, la velocidad de todas las partículas que pasan por ese punto es constante todo el tiempo. Esto es lo que se entiende por "estado estacionario".

Esta discusión se siente familiar; Me imagino que esta pregunta es un seguimiento de algunos comentarios a una respuesta que proporcioné a una de sus preguntas anteriores . Específicamente:

Gracias por la gran respuesta. Aunque tengo que decir que el estado estacionario me parece un poco confuso aquí, ya que esto en la mecánica de fluidos normalmente significa$∂_t v=0$pero me aventuro a decir estado de masa estable? Entonces$\frac{dM}{dt}=0$bien ? – pindakaas 25 de noviembre a las 10:33

Mi respuesta:

@pindakaas: en estado estacionario en cualquier momento, los derivados desaparecen, es decir$\partial_t\rho=0$y$\partial_t \boldsymbol{v}=0$. La implicación es que la densidad es constante y por la ecuación de continuidad$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{v}=0$. El término

$$\boldsymbol{\nabla}\cdot[\rho\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}]=\rho\boldsymbol{\nabla}\cdot[\boldsymbol{v}\otimes\boldsymbol{v}]=\rho\boldsymbol{v}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{v})+\rho(\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\boldsymbol{v}$$ usando la identidad que se muestra en mi respuesta. – nluigi 25 de noviembre a las 10:55

y contigo concluyendo:

No creo que me esté aclarando. Asumiendo que la conservación de la masa es suficiente. Asumiendo$\partial_t \rho=0$y asumir la incompresibilidad simplemente no es necesario. – pindakaas 25 de noviembre a las 18:11

En ese momento no entendí realmente de qué estabas hablando (incluso después de nuestra conversación en el chat), pero lo dejé pasar porque pensé que estábamos hablando de lo mismo solo que desde diferentes perspectivas. Pero esta pregunta aquí confirma mi sospecha de que, de hecho, no estábamos hablando de lo mismo. Espero que ahora pueda aclararlo.

Considere alguna cantidad conservada$\theta=f\left(t,\boldsymbol{r}\right)$(dónde$\theta$podría ser$\rho$o$\boldsymbol{v}$), su derivada total (a menudo conocida como la derivada material en mecánica continua) es por definición:

Si un estado estacionario se define por${\mathrm{D}\theta \over \mathrm{D}t} =0$entonces además de la dependencia del tiempo también el flujo convectivo de la cantidad$\theta$por la velocidad$\boldsymbol{v}$está perdido. Obviamente, en un campo como la dinámica de fluidos, esto es contraproducente. En cambio, por estado estacionario implicamos que todas las cantidades relevantes no cambian con el tiempo, es decir${\partial\theta \over \partial t}=0$. Ahora bien, puede parecer que algunos términos (p. ej.$\boldsymbol{v}$) aún puede depender del tiempo, pero con un ejemplo mostraré que este no es el caso.

Considere las ecuaciones de continuidad y Navier-Stokes que deben resolverse simultáneamente en dinámica de fluidos:

En estado estacionario decimos que ninguna cantidad cambia con el tiempo, es decir$\partial_t \rho=0$y$\partial_t \boldsymbol{v}=0$tal que$\rho\neq f\left(t\right)$y$\boldsymbol{v} \neq f\left(t\right)$:

Un flujo constante no significa que el tiempo no exista; si hiciera una simulación de un flujo constante y liberara partículas trazadoras en el flujo, en intervalos de tiempo posteriores, las partículas se moverán a lo largo de las líneas de corriente del flujo. El hecho de que el flujo sea constante solo significa que las líneas de corriente no cambian con el tiempo, no que el$\boldsymbol{v}=0$.

Wikipedia es totalmente poco fiable para las matemáticas y la ciencia. Tienes razón en que es la diferencial total la que tiene que ser cero, no la derivada parcial. Esto es simplemente sentido común, y no tiene nada que ver con el transporte ni nada específico, como señala Khwarazmi.