Acerca del momento angular del sistema de partículas en relación con el centro de referencia de masa

Question

Acerca del momento angular del sistema de partículas en relación con el centro de referencia de masa

能够可能

Conozco su expresión correcta: $L=\sum_{i}^{n}\left(\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)$

Pero el libro de texto piensa: $\vec{F_i}=\frac{d}{dt}\left(m_i\vec{v_i}\right)$ Pero la velocidad aquí está en el marco de referencia del centro de masa, no creo que esta sea la fuerza real.

Resumen dado en el libro de texto: $\tau_{i}^{ext}=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}}$

Estaba confundido y finalmente pensé por qué, pero el libro de texto no lo explicaba. No sé si esto es correcto.

A continuación están mis pensamientos:

$\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}}=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i(\vec{a_{cm}}+\vec{{a_i}})=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{a_{i}}+\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i\right)\times \vec{a_{cm}}=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{a_{i}}$

Tenga en cuenta que $\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i=0$

$or$

$\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}+\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}m_i\right)\times\vec{v_{cm}}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\left(\vec{v_i}+\vec{v_{cm}}\right)\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{V_{i,groud}}\right)=\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times\vec{F_{i}^{ext}}$

Pregunta:

No entiendo por qué el libro de texto está escrito así, en relación con la velocidad en el marco de referencia del centro de masa, la velocidad no es la velocidad real, pero puede convertirse en una fuerza externa real.

Creo que si el libro de texto usa esta expresión para ser más claro, como: $\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}\vec{r_i}\times m_i\vec{v_i}\right)=\frac{d}{dt}\left(\sum_{i}^{n}{r_i}m_i\left({r_i}\omega\hat k\right)\right)=I_{cm}\alpha\hat k$ (Esto no es absolutamente correcto, solo un cuerpo rígido que gira alrededor del centro de masa y tiene la misma velocidad angular)

La siguiente es una aclaración sobre la pregunta:

Si el suelo es el marco de referencia, esto puede estar cerca de la fuerza real $F$ .La velocidad $v_i$ es relativo al marco de referencia del centro de masa, y el marco de referencia del centro de masa tiene una velocidad $v_{cm}$ en relación con el suelo. Entonces $v_i$ no es la velocidad relativa al suelo, no puedo escribirlo directamente como $F$ .La parte inferior es mi explicación, pero el libro de texto no explica por qué esto se puede escribir directamente como $F$ .Así que tengo dudas sobre esta pregunta.

Derivación dada por el libro de texto: su relación se extrae de la imagen

Lo siguiente es sobre el momento angular de las dos partes.

Puedo obtener tal relación, pero ¿se corresponden entre sí de forma independiente?

Parte del contenido se omite aquí.

No hay duda de que tenemos tal relación correspondiente, y no necesito escribir la otra relación.

Otra relación:

Aunque no necesito escribir este paso, porque se puede concluir que la relación de este paso a través de la relación de otro paso, son indudablemente correspondientes.

Pero tengo dudas sobre este paso, qué se puede usar para explicar, puedo eliminar el malentendido que no sé.

$\frac{d}{dt}\left(m_i\vec{v_{cm,i}}\right)\neq \vec{F_i}$ (Estoy bromeando aquí)

Porque incluso si no lo trato de esta manera, se puede derivar otra relación de la relación anterior. Esto es sin duda correcto.

Pero también he explicado por qué se puede producir este malentendido. Si lo miro directamente, probablemente rechazaré este signo igual.

Mi explicación:

Solo puedo explicarme a mí mismo si he pasado por alto algunas de las reglas de operación, aunque los símbolos parecen similares.

¿Qué debo pensar, si tengo un malentendido equivocado? ¡Ayuda!

G. Smith

Puedes usar \times para obtener

\times

$\times$ . Sus productos vectoriales son confusos sin él.

能够可能

¡Gracias! No sé cómo usar

能够可能

¿Puedo hacer otra pregunta, si la velocidad lineal se mezcla con la velocidad angular, cómo puedo expresar este vector? Tales como: v = rw

pglpm

@能够可能 Puede agregar cómo define su libro de texto

F^{ext}

$F^\text{ext}$ y el marco de referencia que utiliza. Pero no existe tal cosa como la "velocidad real". Una velocidad siempre es relativa a algún marco de referencia; a menos que estés asumiendo la existencia de un éter. Tampoco estoy seguro de lo que quieres decir con "fuerza real". Una fuerza es la misma (excepto por la reorientación) en todos los marcos de referencia, inerciales y no inerciales. Las únicas excepciones son las fuerzas de inercia.

能够可能

Si el suelo es el marco de referencia, esto puede estar cerca de la fuerza real

F

$F$ .La velocidad

v_{i}

$v_i$ es relativo al marco de referencia del centro de masa, y el marco de referencia del centro de masa tiene una velocidad

v_{c m}

$v_{cm}$ en relación con el suelo. Entonces

v_{i}

$v_i$ no es la velocidad relativa al suelo, no puedo escribirlo directamente como

F

$F$ .La parte inferior es mi explicación, pero el libro de texto no explica por qué esto se puede escribir directamente como

F

$F$ .Así que tengo dudas sobre esta pregunta.

Respuestas (2)

Acerca del momento angular del sistema de partículas en relación con el centro de referencia de masa

Puedes usar \times para obtener $\times$ . Sus productos vectoriales son confusos sin él.
¿Puedo hacer otra pregunta, si la velocidad lineal se mezcla con la velocidad angular, cómo puedo expresar este vector? Tales como: v = rw
@能够可能 Puede agregar cómo define su libro de texto $F^\text{ext}$ y el marco de referencia que utiliza. Pero no existe tal cosa como la "velocidad real". Una velocidad siempre es relativa a algún marco de referencia; a menos que estés asumiendo la existencia de un éter. Tampoco estoy seguro de lo que quieres decir con "fuerza real". Una fuerza es la misma (excepto por la reorientación) en todos los marcos de referencia, inerciales y no inerciales. Las únicas excepciones son las fuerzas de inercia.
Si el suelo es el marco de referencia, esto puede estar cerca de la fuerza real $F$ .La velocidad $v_i$ es relativo al marco de referencia del centro de masa, y el marco de referencia del centro de masa tiene una velocidad $v_{cm}$ en relación con el suelo. Entonces $v_i$ no es la velocidad relativa al suelo, no puedo escribirlo directamente como $F$ .La parte inferior es mi explicación, pero el libro de texto no explica por qué esto se puede escribir directamente como $F$ .Así que tengo dudas sobre esta pregunta.

pglpm · Answer 1

Para ser honesto, no estoy seguro si entiendo lo que estás preguntando o cuáles son tus perplejidades. Haré un par de comentarios sobre el equilibrio del momento de rotación y daré algunas referencias que lo examinarán en detalle y en general, con la esperanza de que esto pueda ayudarlo.

Si consideramos una masa puntual, el balance del momento de rotación con respecto al origen del marco de referencia es una consecuencia trivial del balance del momento de traslación: solo necesitamos vectorizar este último por $\pmb{r}$ , la posición de la masa puntual. El momento de rotación $\pmb{H}$ de la masa puntual se define como $\pmb{H}:=\pmb{r}\land(m\dot{\pmb{r}})$ , donde el punto denota la derivada del tiempo, $\dot{x} := \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ . Entonces, considerando que $\dot{\pmb{r}}\land\dot{\pmb{r}} = 0$ , encontramos fácilmente

\dot{H H} = r r \land F F,

$\dot{\pmb{H}} = \pmb{r}\land \pmb{F} \ ,$ dónde

F F

$\pmb{F}$ es el total de todas las fuerzas que actúan sobre la masa puntual.

Pero ya en este caso trivial es importante enfatizar que este equilibrio es válido en cualquier marco de referencia , incluso uno no inercial, siempre que la fuerza de inercia esté incluida entre todas las fuerzas que actúan sobre la masa puntual. (Es bueno recordar que las fuerzas no inerciales son las llamadas cantidades objetivas , es decir, son iguales en todos los marcos, inerciales y no inerciales; más sobre esto a continuación).

Para un sistema de masas puntuales $m_i$ Vectores de position $\pmb{r}_i$ la situación se vuelve más interesante, y aquí es donde el equilibrio del momento de rotación aparece como una ley . Expresemos esta ley para un marco de referencia general, inercial o no inercial.

Suponga que en cada masa puntual $m_i$ actúa la fuerza externa total $\pmb{F}_i$ , incluyendo la fuerza de inercia , y las fuerzas $\pmb{f}_{ik}$ de las otras masas puntuales. El momento de rotación total del sistema en este marco de referencia, con respecto a su origen, se define como $\pmb{H}:=\pmb{r}_i\land(m_i\dot{\pmb{r}_i})$ . El balance del momento de rotación establece que

\dot{H H} = \sum_{i} r r_{i} \land F F_{i},

$\dot{\pmb{H}} = \sum_i \pmb{r}_i \land \pmb{F}_i \ ,$ es decir, la tasa de cambio del momento de rotación es igual al par externo total . Esta ecuación se mantiene en cualquier marco, inercial o no inercial (nuevamente, siempre que estemos incluyendo fuerzas de inercia).

La ecuación anterior en este caso no se deriva del balance del momento de traslación para este sistema. Si multiplicamos los últimos saldos para cada masa puntual por $\pmb{r}_i$ , resúmalos y haz algunas manipulaciones, nos queda un término adicional $\sum_{ik} (\pmb{r}_i - \pmb{r}_k) \land \pmb{f}_{ik}$ . Este término solo desaparece si las fuerzas mutuas son centrales , es decir, están dirigidas a lo largo de las líneas que unen las respectivas masas puntuales (ver la referencia de Joos más abajo).

El equilibrio del momento de rotación, tomado como una ley, requiere que las fuerzas mutuas sean centrales. En muchos libros de texto de física, a menudo se adopta el punto de vista opuesto: asumen que las fuerzas mutuas son centrales, y el equilibrio del momento de rotación se convierte en una consecuencia del equilibrio del momento de traslación más esta suposición de centralidad. Puedes elegir el punto de vista que prefieras. Sin embargo, cuando pasamos a la mecánica de medios continuos, tenemos que tomar el equilibrio del momento de rotación como primitivo debido a la aparición de fuerzas de contacto; véanse las referencias a continuación con respecto a este punto.

Volviendo a su pregunta, el punto es que la ley

\frac{d}{d t} [r r_{i} \land ({metro}_{i} \dot{r r_{i}})] = \sum_{i} r r_{i} \land F F_{i}

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}[\pmb{r}_i\land(m_i\dot{\pmb{r}_i})] = \sum_i \pmb{r}_i \land \pmb{F}_i$ es válido en cualquier marco, inercial y no inercial, y por lo tanto también en el marco del centro de masa. Solo debemos recordar incluir la fuerza de inercia en cada punto de masa . Supongo que "

F^{ext}

$F^\text{ext}$ " en su libro de texto incluye eso.

Nota adicional sobre la objetividad de las fuerzas y sobre la fuerza de inercia

Si consideramos dos marcos genéricos (rígidos) en movimiento mutuo, un vector de posición $\pmb{r}'(t)$ en el segundo cuadro está relacionado con el vector de posición $\pmb{r}(t)$ en el primero por

r r^{'} = C C (t) + q q (t) r r

$\pmb{r}' = \pmb{c}(t) + \pmb{Q}(t)\pmb{r}$ dónde

c c (t)

$\pmb{c}(t)$ es un vector que relaciona los orígenes de los dos marcos, y

Q Q (t)

$\pmb{Q}(t)$ una matriz de rotación ortogonal que relaciona los ejes de los dos marcos. Como se ve desde el

t

$t$ -dependencia, esta relación también es cierta para marcos giratorios variables en el tiempo.

Se dice que cualquier fuerza (no inercial) es objetiva porque sus expresiones en dos marcos cualesquiera están relacionadas por

F F^{'} = q q F F .

$\pmb{F}' = \pmb{Q}\pmb{F} \ .$ En otras palabras, los observadores en los dos marcos siempre están de acuerdo sobre la magnitud de la fuerza,

| F F^{'} | = | F F |

$\lvert \pmb{F}'\rvert = \lvert\pmb{F}\rvert$ (debido a la propiedad de conservación de normas de las matrices de rotación ortogonales), y también de su dirección con respecto a las masas del sistema ya las estrellas fijas. Por ejemplo, todos los observadores están de acuerdo en que una fuerza de Hooke ejercida por un resorte se dirige a lo largo de la línea que une los extremos del resorte; y todos los observadores están de acuerdo en que la fuerza gravitatoria entre dos masas se dirige a lo largo de la línea que une los centros de masa de las dos masas.

Las fuerzas de inercia son la única excepción. La forma más general de la fuerza de inercia sobre una masa puntual con vector de posición $\pmb{r}$ es

F F_{inercial} = 2 Ω Ω (\dot{r r} - \dot{C C}) - (Ω Ω^{2} - \dot{Ω Ω}) (r r - C C) + \ddot{C C},

$\pmb{F}_{\text{inertial}} = 2 \pmb{\varOmega}\ (\dot{\pmb{r}} - \dot{\pmb{c}}) - (\pmb{\varOmega}^2- \dot{\pmb{\varOmega}})\ (\pmb{r}-\pmb{c}) + \ddot{\pmb{c}}\ ,$ dónde

c c

$\pmb{c}$ es el vector de posición del origen del marco con respecto a cualquier marco inercial, y

Ω Ω

$\pmb{\varOmega}$ es la velocidad angular (expresada como matriz) del marco con respecto al marco inercial (oa las estrellas fijas). Ves que la expresión anterior incluye el término usual

\ddot{c c}

$\ddot{\pmb{c}}$ provenientes de la aceleración lineal y las fuerzas centrífugas, de Coriolis y de Euler provenientes de la rotación.

Referencias

El equilibrio general del momento de rotación, las fuerzas de inercia y la objetividad de las fuerzas se analizan en profundidad, por ejemplo, en

Truesdell, Toupin: The Classical Field Theories (Springer 1960), especialmente los capítulos B.III y DI
Truesdell: un primer curso de mecánica continua racional. vol. 1: Conceptos generales (2ª ed. Academic Press 1991), especialmente el Capítulo I.
Samohýl, Pekar: The Thermodynamics of Linear Fluids and Fluid Mixtures (Springer 2014), especialmente la sección 3.3; Las fuerzas de inercia se analizan en la sección 3.2 (tenga en cuenta que este es un libro sobre termomecánica , no solo sobre termodinámica).

La historia de la ley del equilibrio del momento de rotación, especialmente con respecto al descubrimiento de Euler de su necesidad como ley independiente, se resume en

Truesdell: ¿ De dónde viene la ley del momento del impulso? (1963/1968) (también disponible aquí )

Una presentación tradicional de este balance (pero limitado a marcos inerciales) está en

Joos: Theoretical Physics (3ª ed. Hafner 1958), especialmente las secciones 5.5 y 6.2 (edición anterior aquí ).

¡Gracias! Esta es mi duda. Solo quería entender brevemente al principio, descubrí que hay demasiadas cosas que no he tocado antes y que no entiendo en absoluto. ¿Puedo hacer una pregunta de declaración? elija otros marcos, ¿representa esto todos los cambios de momento angular y no necesita dividirse en dos partes?
@能够可能 El equilibrio del momento de rotación es complicado porque el momento de rotación no solo depende del marco, sino también del punto de referencia (y se debe especificar si es estático en ese marco, etc.). Además de eso, los libros de texto a veces usan otras suposiciones ocultas en su discusión. Te recomiendo que revises esas referencias y cualquier otra seria que encuentres, para aclarar las cosas. Lo siento, no entiendo bien la declaración en su último comentario.

RW pájaro · Answer 2

La F que se encuentra a partir de la tasa de cambio del momento de una partícula es la fuerza resultante que actúa sobre esa partícula. En un sistema de partículas, esa resultante consta de fuerzas externas y algunas que son internas al sistema. Si sumas todas esas fuerzas (o torsiones), las que son internas se cancelarán (acción y reacción).

Trato de dar la derivación del libro de texto anterior, tiene sentido que sean iguales. Sé lo que quieres decir, pero no es mi duda (tal vez entiendo un poco). Empecé a notar que la velocidad del impulso no es relativa. al marco de tierra de referencia, no creo que sea cierto (este es mi pensamiento interno). Pienso en su respuesta, entendí un poco mal.
Porque la fuerza está dada por la tasa de cambio del momento. Aunque la velocidad no es real, su relación no parece ser real. Debido a que la velocidad del centro de masa puede sufrir cambios, es cierto solo cuando no cambia. .Si la velocidad del centro de masa está cambiando, entonces se debe agregar la fuerza de inercia. No sé qué más puede explicar esta relación de igualdad, no entiendo.

Acerca del momento angular del sistema de partículas en relación con el centro de referencia de masa

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G. Smith

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Nota adicional sobre la objetividad de las fuerzas y sobre la fuerza de inercia

Referencias

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RW pájaro

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