Aceleración: una pelota que se desliza por el interior de un recipiente semicircular.

Editar: para aclarar, esta es una pregunta de tarea. Pero no podría importarme menos obtener la respuesta a esta pregunta específica, ya que aún no está asignada. Parece interesante y quiero entender los conceptos detrás de él. No entender estas cosas me molesta :p

Aquí está la pregunta dada:

La cara del bloque M en la siguiente figura tiene la forma de un cuenco semicircular de radio R . Se coloca una masa m en la esquina superior izquierda del recipiente y luego se suelta. Encuentre la aceleración del bloque M relativa a la superficie sobre la que está sentado cuando m está a una distancia de 0.8R del fondo del recipiente. No hay fricción entre M y m , o entre M y la superficie sobre la que se asienta.

Hay un diagrama proporcionado:

yo defino$cos(\theta) = \sqrt{1-0.2^2}$, como si la pelota estuviera a 0.8R desde abajo, a 0.2R desde arriba, luego usando la Identidad de Pitágoras para resolver$cos(\theta)$.

Dice que la respuesta es$a_{block}=\frac{-mgcos(\theta)}{M}$

mi respuesta fue esa$a_{block}=\frac{-mgsin(\theta)cos(\theta)}{M}$

dividí el$F_g$vector en sus componentes paralela y perpendicular tal que$F_{g\perp}=m_1gsin(\theta)$

El componente paralelo es irrelevante para esta pregunta.

$F_N=F_{g\perp}=m_1gsin(\theta)$

Luego hallar la componente horizontal de$F_N$es simple. Dibujando un triángulo es evidente que:

$F_{Nx}=F_Ncos(\theta)$

$F_{Nx}=m_1gsin(\theta)cos(\theta)$

Desde$a=\frac{F}{m}$, obtengo mi ecuación:$a_{block}=\frac{m_1gsin(\theta)cos(\theta)}{M}$.

¿Alguien podría aclararme cuál es mi error? Creo que me estoy encontrando con un problema similar en otro problema que involucra un bloque que se desliza por una cuña que también se puede mover libremente (literalmente, este problema exacto, pero en lugar de una superficie semicircular, es simplemente una cuña).