A medida que aumentamos el tamaño y la masa de un mundo, ¿en qué punto se vuelve imposible para un cohete alcanzar una órbita o una velocidad de escape?

Question

A medida que aumentamos el tamaño y la masa de un mundo, ¿en qué punto se vuelve imposible para un cohete alcanzar una órbita o una velocidad de escape?

monty salvaje

Muchos autores describen mundos con mayor gravedad que la nuestra, de donde se originan los extraterrestres supermusculosos. Sin embargo, a medida que aumentamos el tamaño, la masa y la gravedad superficial de un mundo; habría puntos en los que ningún cohete alimentado con combustible químico, ya sea práctico o teórico, podría alcanzar la velocidad de escape o una órbita práctica, por lo que se necesitarían lanzadores alimentados externamente o energía atómica.

Yendo más allá, ¿en qué punto de aumento del tamaño, la masa y la gravedad del planeta un cohete atómico práctico ya no podría alcanzar la velocidad de escape o la órbita?

Dado que se trata de ciencia dura, limite las respuestas a aquellas que involucren cohetes que se implementen actualmente o sean científicamente factibles.

Campeón 2012

Supongo que depende en gran medida de su suposición sobre cómo la atmósfera se escala con el tamaño del planeta.

icono de zeiss

En realidad, si tienes una atmósfera en la que los humanos pueden vivir en la superficie, la atmósfera casi no importa en absoluto. Venus tiene suficiente presión en la superficie para que los cohetes funcionen muy mal, pero eso es más de cien bares en la superficie.

Respuestas (1)

A medida que aumentamos el tamaño y la masa de un mundo, ¿en qué punto se vuelve imposible para un cohete alcanzar una órbita o una velocidad de escape?

Supongo que depende en gran medida de su suposición sobre cómo la atmósfera se escala con el tamaño del planeta.
En realidad, si tienes una atmósfera en la que los humanos pueden vivir en la superficie, la atmósfera casi no importa en absoluto. Venus tiene suficiente presión en la superficie para que los cohetes funcionen muy mal, pero eso es más de cien bares en la superficie.

Jim2B · Answer 1

Introducción

Si está seriamente interesado en esta pregunta y está dispuesto a dedicar algo de tiempo a leer sobre ella, le recomiendo leer la página Atomic Rockets: Engine List .

También discutirá los problemas que enfrentará como cohetero. Una lista parcial es esta:

Para lanzamientos planetarios, su motor debe proporcionar una aceleración mayor que la gravedad local (por ejemplo, para la Tierra, debe exceder 1 g). Esto significa que necesita un motor de alto empuje.
Para reducir el uso de propulsor, su motor debe proporcionar un impulso específico alto ( $I_{sp}$ ).
Para la mayoría de los motores, estas dos cosas son mutuamente excluyentes.

Tiranía de la ecuación del cohete

La ecuación del cohete muestra que la capacidad de propulsión total de un cohete está impulsada por pocos factores sorprendentemente.

Δ v = v_{mi} \cdot en \frac{{metro}_{0}}{{metro}_{F}}

$\Delta v = v_e \cdot \ln{\frac{m_0}{m_f}}$

$\Delta v$ - capacidad propulsora del cohete
$v_e$ - velocidad de escape del propulsor
$m_0$ - masa inicial del cohete
$m_f$ - masa final del cohete (masa inicial menos propulsor utilizado)

Agujero negro estelar

Obviamente, el límite teórico para cualquier cosa es la formación de un horizonte de eventos (también conocido como Blackhole). Esto se debe a que el $\Delta v$ requisito excede la velocidad de la luz y ningún propulsor puede exceder eso.

Puedes lograr esta formación a través de muchos mecanismos. Tome una masa pequeña y comprímala o siga agregando masa a un solo objeto.

Un agujero negro estelar se forma cuando varias masas solares de materia se juntan en condiciones normales (aún no sabemos cuánta masa se requiere). Ninguna cantidad de cohetes sofisticados te sacará de un agujero negro

Cohete químico de 3 etapas: funciona hasta $M_{Saturn}$

A diferencia de muchos tipos de motores de cohetes, los cohetes químicos "queman" su combustible y expulsan los productos de reacción como propulsor. Esto limita su motor de cohete a reacciones exotérmicas (liberación de energía).

para mantener su $I_{sp}$ tan alto como sea posible, debe usar productos químicos que tengan la menor masa posible. $I_{sp}$ es impulsado por la velocidad de escape, no por el impulso (el aumento de la velocidad del propulsor disminuye el uso del propulsor). Entonces, un motor que entrega el mismo empuje usará menos combustible si expulsa una masa baja a alta velocidad en lugar de una masa alta a baja velocidad.

LOX + LH2

El combustible químico para cohetes de alto rendimiento comúnmente utilizado es oxígeno líquido (también conocido como LOX) + hidrógeno líquido (LH2). Esto proporciona una $I_{sp}$ de alrededor de 450 (velocidad de escape de $4,400 \frac{m}{s})$ .

LF2 + LH2

Un combustible de rendimiento aún mayor sería hidrógeno líquido + flúor líquido. Esta combinación puede proporcionar una $I_{sp}$ de alrededor de 480 (velocidad de escape de $4,700 \frac{m}{s}$ ). Sin embargo, presenta una serie de grandes problemas:

Manejar el flúor líquido antes del lanzamiento es difícil.
Evitar que el ácido fluorhídrico gaseoso caliente destruya su complejo de lanzamiento y envenene a las personas en tierra es mucho más difícil.

Cálculos

Por el bien del argumento, si limitamos la ecuación a $\frac{m_0}{m_f} = 10$ ( el transbordador tiene una fracción de $\approx 5$ - lo que significa que es 80% combustible y 20% todo lo demás)

Reemplazar los números proporcionados en la ecuación produciría lo siguiente:

Δ v = 4, 700 \frac{metro}{s} \cdot en 10 = 10, 822 \frac{metro}{s}

$\Delta v = 4,700 \frac{m}{s} \cdot \ln{10} = 10,822 \frac{m}{s}$

Reste un valor razonable de arrastre atmosférico + gravedad ( $\approx 20$ % $= 2164 \frac{m}{s}$ ). esto deja $8,658 \frac{m}{s}$ disponible para llegar a la órbita.

La velocidad orbital se calcula usando esta aproximación :

v_{o} = \sqrt{\frac{GRAMO \cdot {METRO}_{pag yo a norte mi t}}{r}}

$v_o = \sqrt{\frac{G \cdot M_{planet}}{r}}$

$G = 6.7 \cdot 10^{-11} \frac{N \cdot m^2}{kg^2}$
$v_o = 8,658 \frac{m}{s}$
Supongamos la densidad de la Tierra, entonces $M_{planet} = \rho \cdot 4 / 3 \cdot \pi \cdot r^3$
para la tierra, $\rho = 5,500 \frac{kg}{m^3}$

Ahora resuelve para r (y $M_{planet}$ ):

8, 658 = \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{- 11} \cdot 23, 039 \cdot r^{3}}{r}} \to 7.5 \cdot 10^{7} = 6.7 \cdot 10^{- 11} \cdot 23, 039 \cdot r^{2}

$8,658 = \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039 \cdot r^3}{r}} \rightarrow 7.5 \cdot 10^7 = 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039 \cdot r^2$

r^{2} = \frac{7.5 \cdot 10^{7}}{6.7 \cdot 10^{- 11} \cdot 23, 039} \to r = \sqrt{\frac{7.5 \cdot 10^{7}}{1.5 \cdot 10^{- 6}}}

$r^2 = \frac{7.5 \cdot 10^7}{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039} \rightarrow r = \sqrt{\frac{7.5 \cdot 10^7}{1.5 \cdot 10^{-6}}}$

$r = 6,971 km$
$M_{planet} = 7.8 \cdot 10^{24} kg$

Los planetas de diferente densidad dan resultados diferentes.

Esencialmente, la Tierra es el límite para los cohetes químicos de una sola etapa .

Puesta en escena

¡Pero espera un segundo! Claramente, lanzamos vehículos al espacio que no son de una sola etapa, entonces, ¿qué pasa?

Hasta ahora solo hemos discutido hacer esto como una sola etapa para orbitar. Resulta que al organizar un vehículo en realidad obtenemos un mejor rendimiento y podemos alcanzar la órbita más fácilmente.

Cuánto ganamos realmente depende del número y tipo de etapas. Pero supongamos que usamos un cohete de 3 etapas y cada etapa tiene el rendimiento indicado anteriormente. La ecuación de puesta en escena está dada por :

Δ v = {norte}_{s t a gramo mi s} \cdot v_{mi} \cdot en 10 \to Δ v = 3 \cdot 4, 700 \frac{metro}{s} \cdot 2.3 = 32, 466 \frac{metro}{s}

$\Delta v = N_{stages} \cdot v_e \cdot \ln{10} \rightarrow \Delta v = 3 \cdot 4,700 \frac{m}{s} \cdot 2.3 = 32,466 \frac{m}{s}$

El resto de los números permanecen iguales, así que resuelve para r (y $M_{planet}$ ) de nuevo:

32, 466 = \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{- 11} \cdot 23, 039 \cdot r^{3}}{r}} \to 1.05 \cdot 10^{9} = 6.7 \cdot 10^{- 11} \cdot 23, 039 \cdot r^{2}

$32,466 = \sqrt{\frac{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039 \cdot r^3}{r}} \rightarrow 1.05 \cdot 10^9 = 6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039 \cdot r^2$

r^{2} = \frac{1.05 \cdot 10^{9}}{6.7 \cdot 10^{- 11} \cdot 23, 039} \to r = \sqrt{\frac{1.05 \cdot 10^{9}}{1.5 \cdot 10^{- 6}}}

$r^2 = \frac{1.05 \cdot 10^9}{6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 23,039} \rightarrow r = \sqrt{\frac{1.05 \cdot 10^9}{1.5 \cdot 10^{-6}}}$

$r = 26,971 km$
$M_{planet} = 4.1 \cdot 10^{26} kg$

Esta es casi la masa de Saturno ( $5.7 \cdot 10^{26} kg$ ) .

Los planetas de diferente densidad dan resultados diferentes.

Propulsión de pulso nuclear de 3 etapas : funciona para todas las masas de planetas (hasta $170 \cdot M_{Jupiter}$ , que en realidad es una estrella)

La ecuación del cohete no distingue entre el tipo de motor. Entonces puedes usar exactamente las mismas ecuaciones.

Según Atomic Rockets: Engine List , puede esperar que el rendimiento óptimo de un motor de propulsión de pulso nuclear sea el $100,000 \frac{m}{s}$ diseño en esa página.

Si usa esa configuración, un cohete de una sola etapa de propulsión de pulso nuclear podría lanzarse desde un planeta 6 veces la masa de Júpiter (la masa de Júpiter $= 1.9 \cdot 10^{27}$ , la masa de este planeta sería $1.2 \cdot 10^{28}$ ).

Una versión de tres etapas de este barco sería capaz de generar alrededor de 3 veces este $\Delta v$ . Eso correspondería a un planeta con la masa de $3.24 \cdot 10^{29} kg$ - alrededor de 170 veces la masa de Júpiter. Sin embargo, dado que un cuerpo con una masa superior a 84 masas de Júpiter es una estrella , podemos decir con seguridad que una civilización tecnológica podría desarrollar cohetes de propulsión de pulso nuclear para lanzarse al espacio desde cualquier planeta.

Todos los planetas utilizados en esta respuesta asumen un planeta de densidad terrestre.

¿Qué pasa con la velocidad de escape? ¿Es diferente alcanzar una órbita que escapar por completo de la gravedad del planeta?
La velocidad de escape es el doble de la velocidad orbital. Entonces $v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}}$ . Lo que esto significa en la práctica es tomar las masas de mis planetas y dividirlas por $\sqrt{2} \approx 1.44$ . Esto significa que la masa final del planeta sería de aproximadamente $1.15 \cdot 10^{29}$ .
Tuviste el significado de $m_f$ en la ecuación del cohete mal; Lo arreglé. Aunque encuentro sus cálculos justo por encima de "Esencialmente, la Tierra es el límite para los cohetes químicos". confuso, particularmente el que comienza con 8,658. ¿Puedes verificar esos dos veces?
Y dado que, en la práctica, necesitaría un planeta rocoso para lanzar un cohete desde un cohete de 3 etapas que podría lanzarse desde cualquier planeta. Consulte worldbuilding.stackexchange.com/questions/9948/… para conocer el tamaño máximo de un planeta rocoso.
@Micheal, lo que quise decir es que la Tierra estaba sobre el límite para que un cohete de una sola etapa orbitara. Los cohetes de etapas múltiples ciertamente pueden funcionar mejor, como se muestra en la siguiente sección.
@Selenog, no me preocupé por diseñar un planeta adecuado, solo estaba tratando de calcular la masa y una aproximación razonable para el tamaño desde el que era posible lanzar. No investigué cuán realistas o posibles eran esos planetas, ya que esa sería/debería ser otra pregunta.
@ Jim2B Solo quería agregar a su respuesta, proporcionó una excelente respuesta a su pregunta, solo quería señalarle al OP que no puede seguir aumentando la masa de un planeta.
Por cierto, tuve un error arriba. " $v_e = \sqrt{2} \times v_o$ la velocidad orbital. Entonces $v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M_{planet}}{r}}$ " pero el resto de ese comentario es correcto.
Podría ser útil incluir la ecuación modificada del cohete para el despegue vertical en un campo gravitacional con aceleración gravitacional $g$ , en cuyo caso la velocidad en el tiempo t (suponiendo que el cohete partió del reposo en t=0) es $v_e \cdot \ln{\frac{m_0}{m_f}} - gt$ . Asumo que usaste esta ecuación cuando dijiste "Reste un valor razonable de arrastre atmosférico + gravedad", pero Monty Wild u otros pueden querer tener la ecuación para intentar conectar sus propios números. Y por supuesto la aceleración gravitatoria $g$ en el radio $r$ de un planeta de masa $M$ es $g= GM/r^2$ .
Además, creo que está equivocado en cuanto a que múltiples etapas producen alguna mejora de acuerdo con la ecuación a la que se vinculó. Digamos que tenemos un cohete de dos etapas donde la carga útil tiene masa 1, la primera etapa + carga útil tiene masa 10 cuando se alimenta, la segunda etapa + primera etapa + carga útil tiene masa 100 cuando se alimenta. Entonces, si usamos la ecuación multietapa, entonces $\Delta v = 2 v_e ln{10}$ , mientras que si combinamos el combustible en una sola etapa donde la masa inicial con el combustible es 100 y la masa final con la carga útil es 1, entonces la ecuación de una sola etapa es $\Delta v = v_e ln{100} = v_e ln{10^2} = v_e 2 ln{10}$ , exactamente la misma respuesta.
(por supuesto, el uso de etapas múltiples puede ser útil si el peso de cada etapa cuando está completamente vacío de combustible no es despreciable en comparación con la masa de carga útil, pero la ecuación de etapas múltiples que menciona no tiene en cuenta la disminución de masa debido a dejando caer etapas vacías)
La puesta en escena aumenta el total alcanzable de cualquier cohete. $\Delta v$ . Sin embargo, hay una penalización por hacerlo. Esa penalización es que toda la Etapa 2 es parte del peso fijo de la Etapa 1 . Lo que esto significa es que el peso total del cohete aumenta exponencialmente según el número de etapas. Lo que significa que hay un límite práctico para el número de etapas utilizadas. Esto también explica por qué algunos cohetes usan una configuración de 1,5 etapas (un sustentador SSTO + propulsores de correa).
Pero, ¿de dónde saca la afirmación de que "la puesta en escena aumenta el total alcanzable de cualquier cohete?" $\Delta v$ "? No se indica en el artículo wiki al que se vinculó, y mi análisis anterior parece mostrar que, de acuerdo con la ecuación en ese artículo (que, como dije, trata la masa de etapas vacías como insignificante), combinar el combustible en múltiples etapas en una sola etapa más grande da como resultado exactamente lo mismo $\Delta v$ . Si no está de acuerdo con que esto sea cierto en el ejemplo que di con dos etapas, cada una 10 veces más grande que lo que está empujando, ¿puede señalar dónde cree que cometí un error en las ecuaciones?
Obtengo la afirmación de que 'la puesta en escena aumenta el Δv total alcanzable de cualquier cohete'" del artículo vinculado sobre la puesta en escena. Lea atentamente la sección sobre puesta en escena: en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation#Stages . Esa sección muestra un cohete de 3 etapas (cada una con una fracción de masa de 5) que produce un $\Delta v = 4.83 \cdot v_e$ pero una fracción de carga útil del 0,1%. Un SSTO con una fracción de masa de 9 (rendimiento de cohete dramáticamente mejor) produce un $\Delta v = 2.19 \cdot v_e$ . Para la misma actuación, un cohete por etapas da más $\Delta v$ pero aumenta exponencialmente la masa de la pila.
Entonces, después de una discusión adicional, Jim2B señaló algo en el artículo wiki que me perdí, en realidad consideraron la masa de cada etapa una vez que había agotado su combustible junto con la masa de carga útil, con el comentario "10% es la masa seca de la primera etapa, y el 10% es el cohete restante". Me di cuenta de que, en principio, esto haría que los cohetes de etapas múltiples que descartan las etapas a medida que avanzan sean un poco más eficientes, vea mi comentario anterior que comenzó "(por supuesto, el uso de etapas múltiples puede ser útil ..." pero pensé erróneamente que la ecuación en el wiki había uno más idealizado que ignoraba esto.
Nunca escribas los símbolos de las unidades SI en cursiva. Uno no tiene que seguir pautas estrictas (similares a las de Wikipedia) todo el tiempo, pero hay varias cosas que una persona educada debe hacer. Escribir "m", "s" y "kg" en romano es uno de ellos.

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Agujero negro estelar

Cohete químico de 3 etapas: funciona hastaMETROSun turno _ _ _ METRO S a t tu r norte M_{Saturn}

LOX + LH2

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Cálculos

Puesta en escena

Propulsión de pulso nuclear de 3 etapas : funciona para todas las masas de planetas (hasta170 ⋅METROjarriba _ _ _ _ _ 170 ⋅ METRO j tu pag i t mi r 170 \cdot M_{Jupiter}, que en realidad es una estrella)

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