(−1)2j(−1)2j(-1)^{2j} en el teorema de la estadística de giro - Weinberg/Novozhilov/etc

no veo como podemos multiplicar preferentemente$(-1)^{2j}$hacia$e^{-ip(x-y)}$término solo

Porque ese es el origen del teorema de la estadística de espín.
Viene del requisito de que la teoría sea causal .
Y el término que causaría un problema en este caso es el término similar al espacio$x-y$.

Para que una teoría sea causal, el orden temporal de los eventos físicos que afectan la evolución del sistema no se puede revertir. Esto es especialmente problemático para separaciones similares a espacios donde un impulso de Lorentz puede invertir el orden cronológico$t_{\mathrm{final}} - t_{\mathrm{initial}} < 0$. Para que se mantenga la causalidad, se requiere que dos operadores separados en forma de espacio conmuten:

$$\begin{equation} [\mathcal{O}_1(x), \mathcal{O}_2(y)] = 0 \quad \text{if} \quad (x-y)^2 < 0, \quad g_{\mu \nu} = (+,-,-,-), \end{equation}$$ para garantizar que su ordenamiento del tiempo sea irrelevante y no tenga ninguna consecuencia física.

Porque los operadores$\mathcal{O}(x)$por lo general son sólo un producto de$\prod_i \psi_i(x)$, requiriendo$[\mathcal{O}_1(x), \mathcal{O}_2(y)]=0$es lo mismo que exigir$\left [ \psi_A(x), \psi_B(y)\right ] = 0$.

El caso específico de la configuración tipo espacio se discute en la pág. 237 de Weinberg:

Para$x-y$como el espacio, podemos adoptar un marco de Lorentz en el que$x^0=y^0$, y escriba la Ec. (5.7.19) como [...]. Para que esto desaparezca cuando$\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$Debemos tener ...

y luego Weinberg llega al punto de$2j \in \mathbb{N}$.

Así que no ha habido ningún desarrollo en cuatro meses más o menos, y creo que tengo la respuesta que estaba buscando. En caso de que alguien más se encuentre con el problema que tuve, me arriesgaré a publicar mi propia respuesta.

El problema principal es el de la$(-1)^{2j}$término procedente del álgebra de covarianza de Lorentz. Para esto, me baso en las "Reglas de Feynman para cualquier giro" de Weinberg, Phys Rev 1964 B1318 1964 , "PCT, Spin, Statistics, and All That" de Streater y Wightman, Princeton University Press, 1980, páginas 14-16, y "Introducción a la Teoría del campo de partículas elementales" Pergamon Press, 1975 páginas 75-77.

Comenzando con Weinberg, queremos construir nuestros operadores de creación y aniquilación, y por lo tanto nuestros campos, en una forma covariante de Lorentz. Lo hace haciendo que los operadores obedezcan transformaciones en el propio grupo de Lorentz ortocrónico homogéneo.

$$x^\mu\rightarrow \Lambda^\mu_{\space\space\nu}x^\nu = g_{\lambda\rho}$$ $$g_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\space\space\nu}\Lambda^\nu_{\space\space\rho} \tag{Weinberg (W) 2.1}$$ $$det\Lambda=1; \Lambda^0_{\space\space 0}>0$$

En notación de suma de Einstein.

Para cada transformación$\Lambda$corresponde un operador unitario actuando sobre el espacio de Hilbert con la propiedad de grupo

$$U[\Lambda_2]U[\Lambda_1]=U[\Lambda_2\Lambda_1] \tag{W 2.3}$$

A continuación describimos la acción de estos$U[\Lambda]$en una partícula$|\textbf{p},\sigma\big>$estados Primero definimos estos estados como el resultado de un impulso ($\Lambda = L(\textbf{p})$que lleva una partícula de masa m en reposo al impulso$\textbf{p}$) en estado de reposo$|\sigma\big>$

$$|\textbf{p},\sigma\big> = [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[L(\textbf{p})]|\sigma\big> \tag{W 2.6}$$

Esto nos permite ver cómo estos estados deberían transformarse bajo un régimen arbitrario.$\Lambda$

$$\begin{align*} U[\Lambda]|\textbf{p},\sigma\big> &= [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[\Lambda]U[L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &=[m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[L(\Lambda\textbf{p})]U[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &= [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}U[L(\Lambda\textbf{p})]|\sigma'\big>\times \big<\sigma'|U[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}|\Lambda\textbf{p},\sigma'\big>\times D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})] \end{align*} \tag{W 2.8}$$

$L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})$es en realidad la rotación pura$R$, también conocida como "rotación de Wigner", y así$D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]$están aquí los$2j+1$representaciones de matriz unitaria dimensional del grupo de rotación.

Para afirmar ahora la covarianza de Lorentz de los campos, decimos que sus operadores de creación y aniquilación se transforman como se indicó anteriormente:

$$U[\Lambda]a^*(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]a^*(\Lambda\textbf{p},\sigma')\tag{W 2.11}$$

Y con el adjunto:

$$U[\Lambda]a(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})]a(\Lambda\textbf{p},\sigma')\tag{W 2.12}$$

Es imperativo que hagamos coincidir las formas de estos, ya que la solución a mi problema radica en la manipulación de estos coeficientes de matriz.$D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L(\textbf{p})]$y sus productos cruzados en el eventual (anti)conmutador. Como tal, necesitamos hacer los siguientes cambios, usando:

$$\begin{align*} &D^{(j)}[R]^*=CD^{(j)}[R]C^{-1} \\ &D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]=\{CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'} \end{align*} \tag{W 2.13,2.15}$$

transformamos$W 2.11$en

$$\begin{align*} &U[\Lambda]a^*(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda] \\ &=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}\{CD^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}a^*(\Lambda\textbf{p},\sigma') \end{align*}\tag{W 2.16}$$

Ahora$b^*(\textbf{p},\sigma)$se transforma como$a^*(\textbf{p},\sigma)$, por lo que podemos usar$W 2.16$para el operador de creación de antipartículas, y$W 2.12$para$a(\textbf{p},\sigma)$, el operador de aniquilación de partículas.

Weinberg luego forma nuestro$(j,0)$representación de las sumas estándar de Lorentz$K$y$J$operadores, llevándonos a la siguiente identidad útil:

$$D^{(j)}[\Lambda]=\bar{D}^{(j)}[\Lambda^{-1}]^\dagger \tag{W 2.38}$$

A continuación hacemos uso de la propiedad de grupo$\{W 2.3\}$del grupo de Lorentz para dividir las rotaciones de Wigner que aparecen en nuestras fórmulas en tres partes

$$D^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})] = D^{(j)-1}[L(\textbf{p})]D^{(j)}[\Lambda^{-1}]D^{(j)}[L(\Lambda\textbf{p})]$$

Permitiéndonos escribir nuestras leyes de transformación anteriores$\{W 2.12\}$y$\{W 2.16\}$como:

$$\begin{align*} &U[\Lambda]\alpha(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\Lambda^{-1})]\alpha(\Lambda\textbf{p},\sigma') \\ &U[\Lambda]\beta(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\Lambda^{-1})]\beta(\Lambda\textbf{p},\sigma') \\ &\alpha(\textbf{p},\sigma)\equiv[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]a(\textbf{p},\sigma') \\ &\beta(\textbf{p},\sigma)\equiv[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}\{D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}b^*(\textbf{p},\sigma') \end{align*}$$

Solo queda un paso más de Weinberg. Expresamos nuestro campo como una transformada de Fourier en la suma de los operadores de creación y aniquilación invariantes de Lorentz$\alpha$y$\beta$, y luego sustituya de nuevo por$a$y$b^*$:

$$\psi_{\sigma}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int\frac{d^3\textbf{p}}{[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}}\sum_{\sigma'}\left[\xi D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]a(\textbf{p},\sigma')e^{ip\cdot x}+\eta\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}b^*(\textbf{p},\sigma')e^{-ip\cdot x}\right]$$

El (anti)conmutador que queremos:$[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm$, ahora devolverá solo aquellos términos como:$D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger$para el caso de partículas "a", y términos como:$\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}^\dagger_{\sigma,\sigma'}$para el caso de antipartículas "b".

Volviendo a$\{W 2.15\}$, tenemos:

$$\begin{align*} &D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]=\{CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'} \\ &\{C^{-1}D^{(j)}[R]C\}_{\sigma,\sigma'}=\{C^{-1}CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &\{C^{-1}D^{(j)}[R]C\}_{\sigma,\sigma'}=D^{(j)}[R^{-1}]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Ahora podemos agrupar los términos del caso de las antipartículas así:

$$\begin{align*} &\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}^\dagger_{\sigma,\sigma'} \\ &=\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C^{-1\dagger}\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\{C^{-1}D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})^{-1}]^\dagger_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$ Donde el último paso fue aplicando$\{W 2.38\}$. Esto nos da ahora para el (anti)conmutador una forma como:

$$[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\left[|\xi|^2 D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}e^{ip\cdot (x-y)}+|\eta|^2D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right]$$

Pasamos ahora a Novozhilov, quien indica que en su nomenclatura:

$$D^J(\frac{p}{m})=e^{\frac{\beta(\textbf{J}\cdot\textbf{p})}{|\textbf{p}|}}, \theta^i=\beta\frac{p^i}{|\textbf{p}|} \tag{Novozhilov 4.80}$$ Que es la misma forma que en$\{W 2.39, 2.40\}$, dónde

$$\begin{align*} &D^{(j)}[L(\textbf{p})] = e^{-\hat{p}\cdot\textbf{J}^{(i)}\theta} \tag{W 2.39} \\ &\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})] = e^{+\hat{p}\cdot\textbf{J}^{(i)}\theta} \tag{W 2.40} \end{align*}$$

Esto implica, que por propiedad de grupo podemos realizar lo siguiente:

$$D^{(j)}[L(\textbf{p})]\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]\equiv D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(\frac{-p}{m})=D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(-1)$$

dejándonos con

$$\begin{align*} &[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\Pi(\textbf{p})\left[|\xi|^2 e^{ip\cdot (x-y)}\pm|\eta|^2{D}^{(j)}[-1]_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right] \\ &\Pi(\textbf{p}) \propto D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Novozhilov afirma directamente que$D[-1]=(-1)^{2j}$ $\{page 77, in text\}$, pero no llega a explicar por qué. Que es donde me dirijo a Streater y Wightman. En su libro PCT, Spin and Statistics, and All that $(2000)$, página 15, postulan una forma para estas matrices$D^{(j)}$:

"Considere un conjunto de cantidades$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_j}$, donde el$\alpha$'arena$\dot{\beta}$'s toma los valores 1 y 2, y$\xi$es simétrica bajo permutaciones de la$\alpha$'s y también bajo permutaciones del$\dot{\beta}$'s. Para cada$A\in SL(2,C)$definimos una transformación lineal de la$\xi$es de acuerdo a

$$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}A_{\alpha_1\rho_1}...A_{\alpha_j\rho_j}\bar{A}_{\dot{\beta}_1\dot{\sigma}_1}...\bar{A}_{\dot{\beta}_k\dot{\sigma}_k}\xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$$ [El punto sobre el índice simplemente significa que este índice se transforma según$\bar{A}$en lugar de$A$; el símbolo ($\rho$) representa$\rho_1...\rho_j$; el símbolo ($\dot{\sigma}$) para$\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k$] Esta representación de SL(2,C) generalmente se denota$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},\frac{k}{2})}$. Toda representación irreductible es equivalente a una de estas".

A partir de aquí, si consideramos el caso de$A\longrightarrow(-1)$y$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},0)}(A)\equiv D^{\frac{j}{2}}(A)$, entonces podemos ver que esta transformación se reduce a una multiplicación por la matriz unitaria inversa$\textbf{-1}$j veces.

Estaban obteniendo$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}-1_1\times...-1_j \xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$o

$$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}(-1)^j \xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$$

En este punto hay una diferencia en la notación, con Streater y Wightman usando$\frac{j_{integer}}{2}$para etiquetar sus representaciones, y Weinberg y Novozhilov usando$j$ya sea entero o medio entero. Como estos son funcionalmente equivalentes, entonces$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},0)}(-1)_{Streater}\equiv D^{j}(-1)_{Weinberg}\equiv (-1)^{2j}$.

Y finalmente, esto nos lleva al resultado:

$$\begin{align*} &[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\Pi(\textbf{p})\left[|\xi|^2 e^{ip\cdot (x-y)}\pm|\eta|^2(-1)^{2j}_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right] \\ &\Pi(\textbf{p}) \propto D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Llevándonos directamente a la conclusión que siempre lo hace:$|\xi|^2=(-1)\pm|\eta|^2(-1)^{2j}=\mp|\eta|^2(-1)^{2j}$, el teorema de la estadística de espín.