¿La ley de Biot-Savart se obtiene empíricamente o se puede derivar?

Question

¿La ley de Biot-Savart se obtiene empíricamente o se puede derivar?

Oro

Ya hay una pregunta como esta aquí, por lo que mi pregunta podría considerarse duplicada, pero intentaré dejar en claro que esta es una pregunta diferente.

¿Hay alguna forma de derivar la ley de Biot-Savart a partir de la ley de la fuerza de Lorentz o simplemente a partir de las ecuaciones de Maxwell?

El punto es que solemos definir, basándonos en experimentos, que la fuerza que siente una carga en movimiento en presencia de un campo magnético es $\mathbf {F} = q\mathbf{v}\times \mathbf{B}$ , pero en ese caso, el campo magnético generalmente se deja para definirlo más adelante.

Ahora, ¿se puede usar esa ley de fuerza de alguna manera para obtener la ley de Biot-Savart como obtenemos la ecuación para el campo eléctrico directamente de la ley de Fuerza de Coulomb?

Quería saber eso porque como se señaló en la pregunta que he mencionado, aunque las Ecuaciones de Maxwell pueden considerarse más fundamentales, esas ecuaciones se obtienen después de conocer las leyes de Coulomb y Biot-Savart, entonces si comenzamos con las Ecuaciones de Maxwell para obtener Biot -Savart lo usó para encontrar las ecuaciones de Maxwell, entonces creo que caeremos en un argumento circular.

En ese caso, sin recurrir a las Ecuaciones de Maxwell la única forma de obtener la ley de Biot-Savart es a través de observaciones o se puede derivar de alguna manera?

usuario10851

Ni Maxwell ni Biot-Savart son fundamentales: todas esas fórmulas se derivan de Coulomb y de una definición bien elegida de

B

$B$ , como se menciona tangencialmente en esta breve diatriba .

Ján Lalinský

@ChrisWhite, las ecuaciones de Maxwell no se derivan solo de la ley de Coulomb, la relatividad especial y las definiciones. Por ejemplo, la ley de Gauss para el movimiento no rectilíneo de las cargas no se puede derivar sin más suposiciones.

Ayan Biswas

Creo que @Hans de Vries puede dar una respuesta elegante.

Respuestas (6)

¿La ley de Biot-Savart se obtiene empíricamente o se puede derivar?

Ni Maxwell ni Biot-Savart son fundamentales: todas esas fórmulas se derivan de Coulomb y de una definición bien elegida de $B$ , como se menciona tangencialmente en esta breve diatriba .
@ChrisWhite, las ecuaciones de Maxwell no se derivan solo de la ley de Coulomb, la relatividad especial y las definiciones. Por ejemplo, la ley de Gauss para el movimiento no rectilíneo de las cargas no se puede derivar sin más suposiciones.

usuario26872 · Answer 1

$\def\VA{{\bf A}} \def\VB{{\bf B}} \def\VJ{{\bf J}} \def\VE{{\bf E}} \def\vr{{\bf r}}$ La ley de Biot-Savart es una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell.

Asumimos las ecuaciones de Maxwell y elegimos el calibre de Coulomb, $\nabla\cdot\VA = 0$ . Después

\nabla \times B = \nabla \times (\nabla \times A) = \nabla (\nabla \cdot A) - \nabla^{2} A = - \nabla^{2} A .

$\nabla\times\VB = \nabla\times(\nabla\times\VA) = \nabla(\nabla\cdot\VA) - \nabla^2\VA = -\nabla^2\VA.$ Pero

\nabla \times B - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial mi}{\partial t} = m_{0} j .

$\nabla\times\VB - \frac{1}{c^2}\frac{\partial\VE}{\partial t} = \mu_0 \VJ.$ En el estado estacionario esto implica

\nabla^{2} A = - m_{0} j .

$\nabla^2\VA = -\mu_0 \VJ.$ Así, tenemos la ecuación de Poisson para cada componente de la ecuación anterior. La solucion es

A (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} d^{3} r^{'} .

$\VA(\vr) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\VJ(\vr')}{|\vr-\vr'|}d^3 r'.$ Ahora solo necesitamos calcular

B = \nabla \times A

$\VB = \nabla\times\VA$ . Pero

\nabla \times \frac{j (r^{'})}{| r - r^{'} |} = \frac{j (r^{'}) \times (r - r^{'})}{| r - r^{'} |^{3}}

$\nabla\times\frac{\VJ(\vr')}{|\vr-\vr'|} = \frac{\VJ(\vr')\times(\vr-\vr')}{|\vr-\vr'|^3}$ y entonces

B (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{j (r^{'}) \times (r - r^{'})}{| r - r^{'} |^{3}} d^{3} r^{'} .

$\VB(\vr) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\VJ(\vr')\times(\vr-\vr')}{|\vr-\vr'|^3} d^3 r'.$ Esta es la ley de Biot-Savart para un alambre de espesor finito. Para un cable delgado esto se reduce a

B (r) = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{yo d yo \times (r - r^{'})}{| r - r^{'} |^{3}} .

$\VB(\vr) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{I d{\bf l}\times(\vr-\vr')}{|\vr-\vr'|^3}.$

Anexo : En matemáticas y ciencias es importante tener en cuenta la distinción entre el desarrollo histórico y lógico de un tema. Conocer la historia de un tema puede ser útil para tener una idea de las personalidades involucradas y, a veces, para desarrollar una intuición sobre el tema. La presentación lógica del tema es la forma en que los profesionales piensan al respecto. Encapsula las ideas principales de la manera más completa y sencilla. Desde este punto de vista, el electromagnetismo es el estudio de las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz. Todo lo demás es secundario, incluida la ley de Biot-Savart.

Pero cómo lo he visto hacer, las ecuaciones de Maxwell se derivan de la ley de biot-savart, lo que haría que esto fuera circular.
@JLA: He agregado algo para abordar la "circularidad" a la que te refieres.
@JLA, no es posible derivar matemáticamente las ecuaciones de Maxwell de la ley de Biot Savart. Lo que la gente a veces hace es inferir (llegar a) las ecuaciones de Maxwell a partir de la ley de Biot-Savart para un caso específico como corrientes estacionarias y luego generalizarlas a todas las situaciones por palabra.
En aras de la claridad, los operadores diferenciales se aplican en ${\bf r}$ y no ${\bf r'}$ , así es como se intercambian con integrales sobre ${\bf r'}$ .
@AG De hecho, tomando la derivada con respecto a ${\bf r'}$ no tiene sentido. Tenemos $\nabla = \sum \hat e_i \partial/\partial x_i$ , no $\sum \hat e_i \partial/\partial x'_i$ (para lo cual escribiría $\nabla'$ o algo por el estilo).

mufrido · Answer 2

Puede ser cierto que en días de antaño la gente medía la fuerza resultante de una corriente filamentaria, descubriendo la ley de Biot-Savart, y luego a su vez la usaba como inspiración para construir las ecuaciones de Maxwell. Si así es como sucedió históricamente, bien.

Pero esto es análogo a que algún arqueólogo alienígena dentro de 10 millones de años encuentre una mano y un pie esqueléticos en la Tierra. De la mano, el arqueólogo llega a comprender qué le gustaba hacer con ella al animal que tenía esa mano: que podía agarrar y usar herramientas, etc. Del pie, el arqueólogo llega a comprender que el animal al que pertenecía caminaba sobre dos patas y que típicamente pesaba en la edad adulta alrededor de 100-300 libras.

Solo más tarde el arqueólogo afirma que la mano y el pie pertenecían al mismo animal: un ser humano. Pero la naturaleza del trabajo significa que el rompecabezas de lo que era un ser humano debe dividirse en partes que puedan entenderse individualmente antes de que la imagen completa se una. Dicho esto, sería al revés sugerir que la mano y el pie son más fundamentales que el propio ser humano.

Las ecuaciones de Maxwell han sido construidas para ser consistentes con la ley de Biot-Savart y otras piezas de información, como la ley de Coulomb. Por lo tanto, puede derivar Biot-Savart de Maxwell, pero no al revés, ya que Maxwell es más general y lo abarca todo.

Si ya conoce la ley de fuerza de Lorentz, puede inferir la fuerza del campo magnético de un cable simplemente disparando partículas de prueba cargadas cerca del cable y observando su movimiento. Pero esto pone en duda cómo ya conoce la ley de fuerza de Lorentz, y así sucesivamente.

Puede dar vueltas todo el día sobre lo que es o no es fundamental, sobre lo que debe basarse en la observación experimental y lo que simplemente se construye para ser consistente con esas observaciones, pero a menudo hay una preferencia por las observaciones experimentales "simples" que se consideran fundamentales frente a Construcciones teóricas que incorporan muchas de estas observaciones: véase el comentario de Chris White de que las ecuaciones de Maxwell se pueden derivar de la ley de Coulomb y algunas otras cosas.

Para mí, esto es una tontería. Las ecuaciones de Maxwell incorporan la suma total de nuestras observaciones (al menos aquellas que se ajustan al régimen clásico). Para mí, es lo que sabemos sobre el electromagnetismo clásico. Decir que se puede derivar la ecuación de Maxwell con solo un resultado más algunas suposiciones... bueno, se pierde el punto de que esas suposiciones también tenían que ser probadas y verificadas en primer lugar. Para mí, es muy, muy retrógrado señalar casos especiales (campos eléctricos, magnéticos puros, estáticos o dinámicos puros) y tratarlos como "fundamentales".

Editar: pero en realidad, un físico necesita trabajar en ambas direcciones. Para crear una nueva teoría, a menudo tenemos casos especiales que no sabemos si están conectados y debemos unirlos. Eso es construir las ecuaciones de Maxwell a partir de la ley de Coulomb y Biot-Savart. Para analizar más fácilmente un problema particular, para el que no estamos seguros de que exista una fórmula de caso especial, debemos recurrir a la descripción más general (Maxwell) e intentar reducirlo a algo más simple y fácil de resolver (en el caso de que no haya corriente ni dependencia del tiempo, puede volver a la ley de Coulomb). Ambos enfoques son necesarios para ser lo más flexibles posible.

usuario103515 · Answer 3

Sírvase seguir el siguiente enlace. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot y vaya al título "Trabajo". Dice que la ley fue descubierta experimentalmente en el año 1820, es decir, 45 años antes de que se publicaran las ecuaciones de Maxwell. La formulación general de la ley de Biot-Savart fue dada por P. Laplace. La expresión de la Ley de Biot-Savart (la integración) muestra que el principio de superposición ya está incluido en ella. Las ecuaciones de Maxwell se desarrollaron más tarde y se diseñaron adecuadamente para abarcar las implicaciones de la ley de Biot-Savart. Quizás por eso podemos derivar las ecuaciones de Maxwell a partir de la ley de Biot-Savart y viceversa.

Vaya a este enlace https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force y vaya a la sección "Historial". Dice que en el año 1881, es decir, 16 años después de que se publicaran las ecuaciones de Maxwell, Thomson derivó por primera vez una forma de la ley de fuerzas de Lorentz a partir de las ecuaciones de Maxwell. Finalmente, Lorentz derivó la forma moderna de la ley de fuerza de Lorentz en 1892 a partir de las ecuaciones de Maxwell.

Así que la secuencia histórica es así:

Ley de Biot-Savart ==> Ecuaciones de Maxwell ==> Ley de fuerzas de Lorentz.

Pero en las aulas se nos enseña en la siguiente secuencia:

Primero: La ley de fuerza de Lorentz, para introducir el concepto de que el campo magnético ejerce fuerza sobre una carga en movimiento.

Segundo: La ley de Biot-Savart, para introducir el concepto de que las cargas en movimiento producen un campo magnético.

Tercero: Las ecuaciones de Maxwell; la generalización de todas las observaciones experimentales en electromagnetismo.

Entonces la conclusión es:

(1) La ley de Biot-Savart es una ley observada experimentalmente. Esta ley también incluye la idea de que el principio de superposición también es válido en magnetostática. Esta ley sentó las bases de la magnetostática.

(2) Las ecuaciones de Maxwell se derivaron de tal manera que abarcan los hallazgos de la ley de Biot-Savart (junto con otras observaciones experimentales del electromagnetismo). Es una generalización teórica. Las ecuaciones de Maxwell son más fundamentales que cualquier otra observación experimental porque los experimentos generalmente se realizan bajo ciertas circunstancias y, por lo tanto, no pueden dar una información generalizada.

(3) La ley de fuerza de Lorentz se derivó de las ecuaciones de Maxwell, pero puede verificarse directamente de manera experimental.

NOTA

"Observación y luego generalización": creo que así se desarrolla la física. La observación (experimento) siempre establece la base. La generalización engloba la observación y extiende su usabilidad a otras configuraciones, casos y circunstancias imaginables. Por lo tanto, siempre es posible derivar la generalización de la observación y viceversa [la ley de Biot-Savart se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell y las ecuaciones de Maxwell se pueden derivar de la ley de Biot-Savart] .

Aquí se enfatiza que la Ley de Biot-Savart es la observación importante que inició el campo de la magnetostática. Las ecuaciones de Maxwell (generalización) y el concepto de potencial vectorial (una propiedad general del campo vectorial) se pueden utilizar para derivar la ley de Biot-Savart, pero eso no significa que la ley sea solo un paso intermedio en el desarrollo del conocimiento sobre la magnetostática. Que sea posible derivar la ley de Biot-Savart a partir de las ecuaciones de Maxwell y el concepto de potencial vectorial solo certifica que la generalización en las ecuaciones de Maxwell es correcta.

Pero el OP no estaba preguntando sobre el orden histórico de los eventos.

Campo G · Answer 4

Partiendo de un experimento tipo Rowland Ring es posible definir la permeabilidad como una medida del flujo generado en una unidad de volumen por amperio-vuelta. Si luego asumimos que este flujo se disipa como una ley del inverso del cuadrado, obtenemos la ley de Biot Savart como un análogo magnético de la ley de Coulomb con la adición del producto vectorial teniendo en cuenta la perpendicularidad de la dirección del campo y estrictamente en el entendimiento de que es una hipótesis de trabajo validada por su utilidad ya que un elemento de corriente no puede existir aislado del resto de su circuito. Mi consejo: ignora todas las tentaciones de caer en más matemáticas que el mínimo necesario, eso te llevará a la comprensión. Espero que esto ayude.

aharisjo · Answer 5

Tenemos que mirar la línea de tiempo (la historia). La ley de Biot-Savart se publicó antes de la publicación de Maxwell Equations. Entonces, es la Ley de Gauss para Campos Magnéticos (la Segunda Ecuación de Maxwell) la que se deriva de la Ley de Biot-Savart y no al revés. La derivación de la Ley de Gauss para Campos Magnéticos (la Segunda Ecuación de Maxwell) de la Ley de Biot-Savart se puede leer aquí Ley de Gauss para Campos Magnéticos

Francisco Javier Muller · Answer 6

El problema con la Ley de Biot-Savart es que teóricamente está formulada en términos de elementos actuales $Idl$ y luego integrado. Pero en la mayoría de los libros de texto se formula también para cargas PUNTUALES, en términos de $qv$ . El problema aquí es que cuando una carga puntual $q$ se mueve con velocidad $v$ el campo magnético en espacios cercanos CAMBIA con el tiempo, es decir, tenemos un $\frac{dB}{dt}$ , y luego se producen efectos de inducción y se viola la condición magnetostática. En cambio cuando $Idl$ se integra a lo largo de un hilo continuo el $B$ el campo es constante, (magnetostático). Las dos situaciones son muy diferentes y, según mi leal saber y entender, el punto de carga $B$ campo nunca ha sido medido directamente. la fuerza en $qv$ , sí, pero no el campo producido por $qv$ .

Supongo que la estructura hiperfina nuclear en el hidrógeno atómico sería una especie de ejemplo del campo producido por una carga puntual en movimiento. Sin embargo, es complicado por la mecánica cuántica.

¿La ley de Biot-Savart se obtiene empíricamente o se puede derivar?

Oro

usuario10851

Ján Lalinský

Ayan Biswas

Respuestas (6)

usuario26872

JLA

usuario26872

Ján Lalinský

AG

usuario26872

mufrido

usuario103515

Entonces la conclusión es:

NOTA

danu

Campo G

aharisjo

Francisco Javier Muller

lorenzo lurio

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