Dirección de la fuerza sobre un cable que lleva corriente, relacionada con la energía del campo magnético

Supongamos que tengo un cable portador de corriente con corriente$I$saliendo de la página, a lo largo del eje z. Su campo se superpone a un campo magnético uniforme.$B$en la dirección x (hacia la derecha), que existe para$a\le y\le b$($a\le0$,$b\ge0$). A continuación se muestra mi intento de representar cómo creo que se ven las líneas de campo, usando una combinación de software y dibujo a mano:

Ahora supongamos que mantenemos$b-a$constante pero mueva el cable hacia arriba y hacia abajo en relación con la losa de campo uniforme. La condición en la que el cable está en la parte superior de la losa ($b=0$) claramente tiene más energía en el campo magnético (para una longitud dada$\ell$) que la condición en la que el cable está en la parte inferior. Esto significa que el alambre debería experimentar una fuerza hacia abajo, es decir, la energía del campo magnético podría liberarse moviendo el alambre hacia abajo, y esta energía podría usarse para realizar trabajo.

Pero esta es la dirección opuesta a la correcta para la fuerza de Lorentz, así que ahora estoy desconcertado. ¿Qué tiene de malo este argumento?

Para ver si podía descifrar el error, seguí adelante e hice la integral. La superposición del campo tiene una energía proporcional a$\int \textbf{B}_1\cdot\textbf{B}_2 dv$más términos independientes de la posición del cable, donde$\textbf{B}_1$es el campo uniforme y$\textbf{B}_2$es el campo del alambre. Si hago la integral para una losa de volumen de longitud$\ell$en la dirección z, obtengo$IB\ell h+\text{const}$, dónde$h=|a|$y const. significa un término que no varía si$b-a$se mantiene fijo. La fuerza sobre el alambre por unidad de longitud es entonces$IB\ell$, que es el resultado esperado, pero la fuerza todavía parece estar en la dirección equivocada.

Para crear la parte uniforme del campo magnético, necesitamos tener una hoja de corriente saliendo de la página en$y=b$, y una hoja que va a la página en$y=a$. Estos deberían causar una fuerza hacia arriba en el cable, de acuerdo con la ley de fuerza de Lorentz y en desacuerdo con el análisis de energía.

Parece que también puedo hacer una versión que sea geométricamente más simple. Si me deshago del cable, solo tengo dos láminas de corriente en direcciones opuestas. La ley de fuerza de Lorentz dice que estas láminas se repelen entre sí, y esto también tiene sentido porque el campo magnético aporta una$y$presión al estrés-energía. Pero la energía del campo (por unidad de área xz) claramente aumentará si las láminas se separan más.

¿Qué está mal con mi razonamiento aquí?