¿Cuánto Delta-V se requeriría para escapar de la influencia gravitatoria de la Tierra sin entrar en órbita?

Asumí un meta-Falcon 9 Full Thrust y lo disparé hacia arriba en una Tierra que no gira y sin atmósfera.

                          1st stage    2nd stage    coast stage
                          ---------    ---------     ---------
       total mass (kg)      422000       128000         28000
  propellant mass (kg)      370000       108000
             Isp (sec)         300          350
exhaust velocity (m/s)        2943         3433.5
       burn time (sec)         160          400          1800
    mass flow (kg/sec)        2312.5        270

Para la primera y segunda etapa, he integrado

Como sospechaba :

El lanzamiento "directo" probablemente será mucho más costoso.

Hay tantas respuestas en este sitio que explican la idea de que llegar a la órbita se trata de moverse hacia los lados lo suficientemente rápido, lo suficientemente pronto. Esto es lo que sucede si no haces eso.

He llamado a la misión "Falcon Nein" porque incluso sin carga útil adicional, un Falcon 9 Full Thrust, disparado directamente hacia arriba, caerá a la Tierra, tanto en la primera etapa como en la segunda etapa sin carga , ya sea africana o europea .

Media hora de gravedad, en ausencia de órbita, es terriblemente costosa de hecho.

He simulado cinco "ajustes" de la gravedad de la Tierra; 100%, 75%, 50%, 25% y cero.

Escritura de Python:

def deriv_1(X, t):
    x, v  = X
    F_t   = v_ex_1 * mdot_1
    m     = m_tot_1 - t * mdot_1 + m_tot_2
    acc_t = F_t / m
    acc_g = -GM / x**2
    return np.hstack((v, acc_t + acc_g))

def deriv_2(X, t):
    x, v  = X
    F_t   = v_ex_2 * mdot_2
    m     = m_tot_2 - (t-t_burn_1) * mdot_2
    acc_t = F_t / m
    acc_g = -GM / x**2
    return np.hstack((v, acc_t + acc_g))

def deriv_3(X, t):
    x, v  = X
    acc_g = -GM / x**2
    return np.hstack((v, acc_g))


import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint

GMe = 3.986E+14  # m^3/s^2
Re  = 6378137.   # m

GMs = GMe * np.linspace(0, 1, 5)

# Setup:

# first stage
m_fuel_1  = 370000.       # kg
m_tot_1   = 422000.       # kg
t_burn_1  = 160.          # sec
Isp_1     = 300.          # sec
v_ex_1    = Isp_1 * 9.81  # m/s
mdot_1    = m_fuel_1 / t_burn_1  # kg/sc

# second stage
m_fuel_2  = 108000.       # kg
m_tot_2   = 128000.       # kg
t_burn_2  = 400.          # sec
Isp_2     = 350.          # sec
v_ex_2    = Isp_2 * 9.81  # m/s
mdot_2    = m_fuel_2 / t_burn_2  # kg/sc

# coast stage
t_coast   = 1800.         # sec

# Go!
trajectories = []

for GM in GMs:

    traj = []

    # first stage
    X0_1   = np.array([Re, 0.0])
    time_1 = np.linspace(0, t_burn_1, 101)

    answer_1, info = ODEint(deriv_1, X0_1, time_1, full_output=True)
    x_1, v_1 = answer_1.T

    traj.append((time_1, (x_1, v_1)))

    # second stage
    X0_2   = answer_1[-1]
    time_2 = np.linspace(0, t_burn_2, 101) + time_1[-1]

    answer_2, info = ODEint(deriv_2, X0_2, time_2, full_output=True)
    x_2, v_2 = answer_2.T

    traj.append((time_2, (x_2, v_2)))

    # coast stage
    X0_3   = answer_2[-1]
    time_3 = np.linspace(0, t_coast, 201) + time_2[-1]

    answer_3, info = ODEint(deriv_3, X0_3, time_3, full_output=True)
    x_3, v_3 = answer_3.T

    traj.append((time_3, (x_3, v_3)))

    trajectories.append(traj)

if True:
    plt.figure()

    for traj in trajectories:

        for (time, (x, v)), color in zip(traj, ('-b', '-g', '-r')):

            plt.subplot(2, 1, 1)
            plt.plot(time, 0.001 * (x-Re), color)

            plt.subplot(2, 1, 2)
            plt.plot(time, 0.001 * v, color)

    plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.ylabel('altitude (km)', fontsize=16)
    plt.xlabel('time (sec)', fontsize=16)
    plt.ylim(0, 15000)

    plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.ylabel('speed (km/s)', fontsize=16)
    plt.xlabel('time (sec)', fontsize=16)

    plt.suptitle('Vertical Launch ("Falcon Nein") GM = (1, 0.75, 0.5, 0.25, 0) x GMe', fontsize=16)

    plt.show()

La diferencia (y es una diferencia, no una proporción) entre un ascenso directo para escapar y pasar temporalmente a una órbita baja de estacionamiento y luego al mismo escape, es del orden de 100 m/s. Ese es el costo de subir el periápside, que no necesitarías hacer en un ascenso directo.

Entonces, el costo en realidad no es tan alto, en comparación con los ~9 km/s para entrar en órbita.

Esto supone un ascenso directo eficiente, que aún parece entrar en órbita, excepto por no elevar el periapsis. Desea que el lanzamiento de su cohete esté lo más cerca posible de la Tierra para maximizar el efecto Oberth. Por lo tanto, no irías "simplemente hacia arriba", a menos que mágicamente pudieras completar tu quemado justo fuera de la atmósfera.

Según Wikipedia :

Para un cuerpo masivo esféricamente simétrico, como una estrella o un planeta, la velocidad de escape de ese cuerpo, a una distancia dada, se calcula mediante la fórmula:

$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$

donde G es la constante gravitatoria universal, M la masa del cuerpo del que se va a escapar y r la distancia desde el centro de masa del cuerpo al objeto.

Si ingresa los valores para la superficie de la Tierra, obtendrá 11,186 km/s.

Esta fórmula asume una tierra que no gira. Si desea aprovechar al máximo la rotación de la Tierra, debe lanzar directamente hacia el este desde el ecuador. En teoría, esto le ahorraría 465 m/s. Si lanzara directamente hacia el oeste, necesitaría 465 m/s más.

Pero una cosa que esta fórmula no tiene en cuenta es la energía que pierdes a través de la fricción aerodinámica mientras aún estás en la atmósfera. La atmósfera hace que un lanzamiento directo hacia el este sea obviamente inviable. Es por eso que los lanzamientos de cohetes en el mundo real son un compromiso: primero lanzas hacia arriba (en relación con la superficie) mientras estás en la atmósfera inferior, y luego giras hacia el este cuando la atmósfera se vuelve más delgada.

También supone una aceleración inmediata. Cuanto más tiempo necesites para alcanzar esa velocidad, más aceleración perderás al caer.

Pero estos dos factores son difíciles de generalizar, porque dependen de la construcción de su embarcación.

El mayor problema aquí es la pérdida de gravedad. Si de alguna manera pudieras llegar mágicamente a esos 11.186 km / seg de una vez (e ignorando la atmósfera), eso te llevaría a una trayectoria de escape.

Sin embargo, en el mundo real lleva varios minutos desarrollar esa velocidad. Mientras haces eso, también estás gastando combustible para evitar retroceder. Eso es puro desperdicio.

Mientras te diriges hacia arriba, gastas 9,8 m/s^2 en luchar contra la gravedad. (Esto disminuirá a medida que suba, pero el efecto es pequeño dentro del ámbito que está operando). Por lo tanto, incline su cohete tan pronto como pueda ; tan pronto como sea posible. Si bien se necesita velocidad orbital para cancelar todo su peso, cualquier cantidad de velocidad horizontal cancela parte de él. Cada m/s que ahorre de esta manera es am/s que su cohete no necesita proporcionar. Tienes que equilibrar las pérdidas de arrastre por ser demasiado bajas con la pérdida de gravedad adicional por ser demasiado altas.

También suele estar el tema de los carenados. Son grandes y pesados, quieres deshacerte de ellos lo antes posible, pero tienes que estar lo suficientemente alto como para que tu cohete ahora no aerodinámico no sea un problema si se han ido. Esto hace que los cohetes vuelen un poco más alto de lo que lo harían de otra manera.