¿Qué tan rápido escapa el combustible de un cohete para que alcance la velocidad de escape de 11 km/s?

La velocidad de un cohete puede exceder su velocidad de escape.

Es posible que la velocidad de un cohete sea mayor que la velocidad de escape de los gases que expulsa. ...El empuje del cohete no depende de las velocidades relativas de los gases y el cohete, simplemente depende de la conservación del impulso.

Fuente https://courses.lumenlearning.com/suny-osuniversityphysics/chapter/9-7-rocket-propulsion/

Ver también en la pila de física https://physics.stackexchange.com/q/73692

También de Propulsión de cohetes y naves espaciales: principios, práctica y nuevos desarrollos

Se puede ver en la Figura 1.6 que el cohete puede viajar más rápido que la velocidad de su escape. Esto parece contrario a la intuición cuando se piensa en términos del escape empujando contra algo. De hecho, el escape no está empujando contra nada en absoluto, y una vez que ha salido de la tobera del motor del cohete no tiene más efecto sobre el cohete. Toda la acción tiene lugar en el interior del cohete, donde se ejerce una fuerza de aceleración constante sobre las paredes internas de la cámara de combustión y el interior de la tobera. Entonces, mientras que la velocidad del cohete depende de la magnitud de la velocidad de escape, como se muestra en la figura 1.6, puede ser mucho mayor.Un observador estacionario ve pasar el cohete y su escape, ambos moviéndose en la misma dirección, aunque el cohete se mueve más rápido que el escape.

captura de pantalla original

Tenga en cuenta que según este gráfico, un cohete con una velocidad de escape de 4 km/s puede alcanzar los 11 km/s.

Una forma intuitiva de pensarlo: tienes un gran cohete, compuesto por dos partes de igual masa: la parte de carga útil y la parte de combustible. Lanza el escape (combustible) hacia atrás a 1 km/s (para simplificar: todo a la vez para que no acelere nada hacia adelante primero), y claramente la parte de la carga útil ahora se mueve a 1 km/s hacia adelante. Abra el carenado y revele la carga útil: un cohete como el primero, solo la mitad de grande, pero de la misma construcción: ¡la mitad de combustible, la mitad de carga útil! Lance su combustible hacia atrás a 1 km/s, y la parte delantera acelerará 1 km/s hacia adelante, pero ya se movía a 1 km/s, por lo que ahora se mueve a 2... y su combustible recién expulsado se detiene. en relación con la velocidad de lanzamiento. Ahora revele la carga útil... ¡que es de nuevo el mismo tipo de cohete excepto que tiene la mitad del tamaño otra vez! Una vez que lanzas su combustible hacia atrás,

Por supuesto, reducir a la mitad el tamaño cada vez pone un serio freno a lo lejos que puede empujarlo, y si observa qué parte de la masa de lanzamiento fue combustible y cuánta carga útil, puede ver cómo funciona: ¿por qué los cohetes son ~ 95%? combustible por peso, y por qué necesita un cohete tan enorme para lanzar una nave espacial bastante pequeña. También muestra dónde entra en juego el impulso específico: ¿qué velocidad alcanzaría si en lugar de empujar el combustible a 1 km/s cada vez pudiera empujarlo a 3 km/s?

Para un cohete que no está sujeto a fuerzas externas, la conservación de la cantidad de movimiento dicta que

• $m(t)$es la masa del cohete, incluido el propulsor, en el momento$t$,
• $v(t)$es la velocidad del cohete en el tiempo$t$, relativo a algún observador inercial,
• $\dot v(t)$es la aceleración del cohete en el tiempo$t$,
• $v_e(t)$es la velocidad a la que el cohete expulsa los gases de escape, en relación con el cohete, y
• $\dot m(t)$es la velocidad a la que el cohete pierde masa.

Suponiendo una velocidad de escape constante, integrando esto con respecto al tiempo da como resultado la ecuación de cohete ideal para una sola etapa de un cohete:

• $\Delta v$es el cambio de velocidad del cohete,
• $v_e$es la velocidad efectiva a la que los gases de escape salen del cohete,
• $m_0$es la masa inicial del cohete (carga útil, estructura y propulsor),
• $m_f$es la masa final del cohete (carga útil y estructura), y
• $\ln(x)$es la función logaritmo natural.

Esto significa que hacer que el cambio de velocidad de un cohete exceda la velocidad de escape del cohete es eminentemente alcanzable. Requiere que la masa inicial del cohete sea al menos un 63% de propulsor. Los cohetes que impulsan cosas al espacio suelen tener una masa inicial de aproximadamente un 90 % de propulsor.

Como regla general, tratar de hacer que una sola etapa de un cohete tenga un delta V que sea más de tres veces la velocidad de escape es forzar demasiado la ecuación del cohete. Eso requeriría, como mínimo, un cohete cuya masa inicial sea 95% de propulsor. Un valor más realista es un cohete cuya masa inicial está en la vecindad del 90% de propulsor. Esto da como resultado un cohete que idealmente tiene un delta V que es 2,3 veces la velocidad de escape.

Por cierto, esta es la razón por la que el concepto de un cohete en órbita de una sola etapa es atractivo y, sin embargo, aparentemente está fuera de alcance. El delta V necesario para poner una carga útil en órbita terrestre baja oscila entre más de 9 km/s y un poco más de 10 km/s, dependiendo del cohete. Un cohete cuya masa inicial es 90% de propulsor y cuya velocidad de escape es de 4 km/s (ambas factibles) idealmente puede lograr un delta V de 9,2 km/s. Esto está justo en el rango de lo que es factible. El problema es la palabra "idealmente". Que un cohete en órbita de una sola etapa esté justo en la cúspide de lo que es factible significa que las organizaciones que desean poner cosas en órbita o más allá inevitablemente asumen las importantes complejidades añadidas asociadas con los cohetes de múltiples etapas.

Esto es lo que espero que sea un argumento intuitivo de que no es necesario que la velocidad de escape sea mayor que la velocidad que el cohete deba alcanzar.

En primer lugar, piense en un 'cohete' que es propulsado por alguien sentado en la parte de atrás que arroja piedras. los guijarros pesan$0.1\,\mathrm{kg}$y la persona se los puede tirar$10\,\mathrm{m/s}$en relación con el cohete.

En algún momento, la persona ha tirado todas las piedras excepto una. La masa restante del cohete y la persona es$100\,\mathrm{kg}$, entonces la masa total de la cosa, incluyendo el guijarro, es$100.1\,\mathrm{kg}$.

Entonces, ¿qué sucede cuando la persona arroja esta última piedra? Bueno, podemos usar la conservación de la cantidad de movimiento para decirnos: si el cohete viaja a$v$justo antes de que se arroje la piedra, entonces su cantidad de movimiento inicial es$100.1v$. Después, el guijarro va a$v - 10$, por lo que la cantidad de movimiento final es$100 (v + \Delta v) + 0.1(v - 10)$, dónde$\Delta v$es el cambio de velocidad. Entonces sabemos que estos son iguales, entonces

Y a partir de esto deducimos que$\Delta v = 1/100\,\mathrm{m/s}$: no depende de$v$en absoluto.

Bien ok. Así que imaginemos ahora que, justo antes de que se arroje la última piedra, el cohete viajaba a$11\,\mathrm{km/s} - 0.005\,\mathrm{m/s}$. Bueno, justo después de arrojar la piedra, ¿ahora viaja a$11\,\mathrm{km/s} + 0.005\,\mathrm{m/s}$: ahora va más rápido que$11\,\mathrm{km/s}$.

Pero el guijarro fue arrojado a mucho, mucho menos que$11\,\mathrm{km/s}$

Y obviamente esto es cierto para cualquier velocidad: si empiezo en$0\,\mathrm{km/s}$y tengo suficientes guijarros para lanzar, puedo llegar a la velocidad que quiera.

Sin embargo, necesitaré muchos guijarros.

Considere un cohete que flota inmóvil en el espacio. Le gustaría comenzar a moverse, por lo que arroja algo de masa por la parte trasera en forma de escape, lo que acelera su nave en la dirección opuesta. La velocidad de la masa que sale de tu nave no importa en absoluto; mientras se mueva, tu nave tendrá el mismo impulso en la dirección opuesta.

Ahora considere la situación en un marco de referencia diferente. Su cohete no está inmóvil en absoluto, en realidad está navegando por el espacio a una velocidad constante (nota: este escenario es fundamentalmente idéntico a estar en reposo). Esa velocidad puede ser cualquier cosa, dependiendo de su marco de referencia. Pero incluso en este nuevo marco de referencia, arrojar masa por la parte trasera del cohete seguirá acelerándolo. No importa cuál sea su velocidad en el marco de referencia elegido, o qué tan rápido arroje la masa, siempre dará como resultado que el cohete se mueva más rápido. A partir de esto, puede ver que incluso un cohete que se mueve muy rápido puede acelerar expulsando masa a una velocidad arbitrariamente baja.

Cualquier masa expulsada desde la parte trasera de un cohete aumentará la velocidad de avance del cohete. Por lo tanto, un cohete puede moverse más rápido que la velocidad de su escape (y, de hecho, puede alcanzar velocidades arbitrariamente cercanas a c , siempre que tenga masa para expulsar). Si este no fuera el caso, violaría la conservación del impulso: si cambia el impulso del escape pero no el cohete, el impulso general del sistema ya no es constante. Un cambio en el impulso de escape siempre resultará en un cambio en el impulso del cohete, independientemente de sus velocidades relativas.

No hay límite inferior; sin embargo, a medida que disminuya la velocidad de escape, se debe agotar más masa.

La propulsión de cohetes funciona por la conservación del impulso. El cambio en la cantidad de movimiento del escape (su masa multiplicada por su velocidad) es igual pero de signo opuesto a la cantidad de movimiento del cohete. He ilustrado esto a continuación.

Observe cómo la masa del escape (dibujado con un gran m) es mayor que la masa del cohete (dibujado con un pequeño m). Por ejemplo, la tercera etapa de Saturno transportaba 109 000 kg de propulsor que propulsaba 64 000 kg de la tercera etapa vacía y la carga útil del Apolo.

Para que los productos de masa por velocidad sean iguales en cantidad, la gran masa del escape debe multiplicarse por una pequeña velocidad (pequeña varriba), y la pequeña masa del cohete se multiplica por una gran velocidad (grande varriba).

A medida que aumenta la relación entre las masas, también aumenta la relación entre las velocidades. Podría obtener hipotéticamente 11 km/s con un escape lento de 1 m/s, si el escape fuera 11 000 veces la masa del cohete restante. En la práctica, las relaciones de masa no son tan extremas.

El signo menos en la ecuación anterior significa que las velocidades están en direcciones opuestas. El escape se mueve hacia atrás y el cohete se mueve hacia adelante.

Un fenómeno similar ocurre con una pistola y una bala. El arma es como el escape: gran masa pero baja velocidad (el "retroceso"). La bala es como el cohete: pequeña masa pero alta velocidad.

Supón que arrojas algo desde la parte trasera de tu nave espacial. El momento total no cambia, por lo que la velocidad de lo que lanzaste por su masa será igual a (negativo de) la velocidad de la nave restante por su masa (en el marco de referencia donde la velocidad original de la nave espacial es cero). Si lo que arrojaste fue más masivo que el resto de tu nave espacial, entonces la velocidad de tu nave espacial será mayor que la del escape.

Es más complicado con los cohetes reales, ya que el escape sale con el tiempo en lugar de en una sola instancia, y los cohetes generalmente se usan en campos gravitatorios, pero el principio básico se mantiene.