Dirección de HH\textbf{H} y BB\textbf{B} dentro y fuera de un imán de barra

Me parece haber encontrado una contradicción al pensar en las direcciones de$\textbf{H}$y$\textbf{B}$dentro y fuera de un imán de barra.

Suponga que un imán de barra tiene una magnetización M aproximadamente constante que apunta a lo largo de la dirección z positiva. Supongamos también que el imán está hecho de un material isotrópico, es decir$\textbf{M}=\chi_m \textbf{H}$(1). Por lo tanto$\textbf{H}$debe apuntar en la misma dirección que$\textbf{M}$, siempre que$\chi_m$es positivo, ¿cuál debería ser el caso para la mayoría de los materiales magnéticos? De la definición$\textbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}-\textbf{M}$y reemplazando usando (1), obtenemos$\textbf{B}=\mu_0(1+\chi_m)\textbf{H}=\frac{\mu_0(1+\chi_m)}{\chi_m}\textbf{M}=\frac{\mu_0\mu_r}{\mu_r-1}\textbf{M}$. A menos que$\mu_r$es menor que 1,$\textbf{B}$también debe ser paralelo a$\textbf{M}$. Por lo tanto hasta ahora conseguimos que ambos$\textbf{H}$y$\textbf{B}$debe apuntar en la misma dirección que la dirección que$\textbf{M}$dentro del imán, es decir, a lo largo de la dirección z positiva.

Lo sabemos$\nabla\cdot\textbf{B}=0$y, por lo tanto, aplicando condiciones de contorno en las superficies superior e inferior del imán (normal al eje z) utilizando un pastillero gaussiano infinitesimalmente delgado, obtenemos que$\textbf{B}^\perp_\textrm{outside}=\textbf{B}^\perp_\textrm{inside}$. Por lo tanto$\textbf{B}$inmediatamente fuera de la superficie superior también debe apuntar en la dirección z positiva. Suponiendo que no hay corrientes libres cerca del imán,$\nabla\times\textbf{H}=\textbf{J}_\textrm{free}=\textbf{0}$. Aplicando condiciones de contorno a las superficies laterales del imán (paralelo al eje z),$\textbf{H}^\parallel_\textrm{outside}=\textbf{H}^\parallel_\textrm{inside}$. Por lo tanto$\textbf{H}$inmediatamente fuera de las superficies laterales también debe apuntar a lo largo de la dirección z positiva. Sin embargo, las líneas de campo también deben enroscarse y encontrarse con la superficie superior del imán, donde$\textbf{H}$por lo tanto, tendrá que apuntar en la dirección z negativa . Desde$\textbf{M}=\textbf{0}$afuera,$\textbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}-\textbf{M}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}$y$\textbf{H}$tiene que ser paralelo a$\textbf{B}$pero acabamos de argumentar que apuntan en direcciones opuestas debido a las condiciones de contorno. ¿Cómo resolvemos esta contradicción?