¿Por qué un electrón reacciona de manera diferente a un fotón virtual en la interacción entre dos electrones y entre un electrón y un positrón?

Entonces, la gente generalmente responde a preguntas como esta, de manera bastante razonable, diciendo que las partículas virtuales no son "reales" y que son solo un dispositivo de cálculo para hacer la teoría de la perturbación. Pero esto realmente no parece responder al "espíritu" de su pregunta: cuando un electrón y un positrón interactúan, claramente hay algo que "les permite saber" cuál es la carga del otro: un electrón acercado a un positrón se comporta de manera diferente a un electrón se movió cerca de un electrón. Tu enigma es entonces: si lo único que define la interacción entre los electrones es un fotón virtual, entonces, ¿cómo conocen la carga del otro?

La respuesta es esencialmente: no es solo el fotón virtual el que define la interacción. Los electrones también saben qué es el hamiltoniano, o "hay más información en la interacción que solo lo que lleva el fotón virtual". Independientemente de cómo elija incorporar eso en su visualización de cómo interactúan las partículas, depende de usted, pero resalta las limitaciones de visualizar la interacción electromagnética como "un fotón que se escupe de un lado a otro" y nada más. Aclaremos esta afirmación un poco más claramente con un tratamiento integral de trayectoria.

Considerar

$$\begin{align} \mathscr{Z}&=\int \mathscr{D}A\exp\left(i\int d^4x\ \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + A_\mu J^\mu \right)\\ &=\int \mathscr{D}A\exp\left(i\int d^4x\ \frac{1}{2}A_\mu\left(\partial^2\eta^{\mu\nu}-\partial^\mu\partial^\nu\right)A_\nu + A_\mu J^\mu \right) \end{align}$$ y no te preocupes demasiado por las sutilezas con el$\mathscr{D} A$que ver con la fijación de calibre, o la dinámica de los electrones/positrones - solo trataremos la corriente$J^\mu$como una fuente clásica, y tome el propagador de fotones como$-\eta_{\mu\nu}/p^2$. Nuestros resultados no cambiarán bajo una transformación de calibre, y veremos más adelante cómo cambia la historia cuando se permite que los electrones sean dinámicos.

Podemos hacer la integral de trayectoria exactamente aquí, ya que todo es cuadrático en$A_\mu$. La respuesta es

$$\begin{align} \mathscr{Z}=\exp\left(iW[J]\right) \end{align}$$ dónde $$\begin{align} W[J]=\frac{1}{2}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}J^\mu(k)^*\frac{1}{k^2+i\epsilon}J_\mu(k) \end{align}$$ dónde$J(k)$es la transformada de fourier de$J(x)$y$J^*$es conjugación compleja. La cantidad$W[J]$codifica la "energía potencial" de la configuración$J$en cierto modo lo haremos preciso al final. El componente cero del vector actual es la densidad de carga$J^0(k)=\rho(k)$, por lo que esta expresión nos dice que la energía potencial de dos masas de igual densidad de carga es positiva, mientras que es negativa para cargas opuestas, es decir, la fuerza entre dos cargas iguales es repulsiva y entre dos cargas opuestas es negativa.$^1$! Ahora, el factor propagador$1/k^2$es "un fotón virtual" que se intercambia entre las dos corrientes (más justificación para esto más adelante), por lo que en este ejemplo esbozado vemos que no es el fotón virtual "diciendo" a las dos partículas cuáles son sus respectivas cargas. Nos dice que hay un término en el hamiltoniano que acopla cargas a través de un fotón, y la estructura de QED es tal que este término es positivo para cargas iguales y negativo para cargas opuestas.$^2$. Es simplemente el hecho de que un fotón virtual intercambiado entre dos cargas similares genera una fuerza repulsiva y una atractiva cuando se intercambia entre cargas opuestas. Esta es la limitación de imaginar una fuerza como nada más que un fotón escupido de un lado a otro: lo que hace ese fotón depende de lo que el hamiltoniano le dice que haga, y el hamiltoniano le dice que atraiga cargas opuestas y rechace cargas similares. Entonces, la situación es "fotón + las instrucciones que recibe del hamiltoniano" en lugar de solo "fotón" por sí solo.

Tratar el electrón/positrón como fuentes clásicas y ver la energía de la interacción que obtienes es en realidad un argumento perfectamente bueno, pero tal vez sería un poco más persuasivo poner los electrones explícitamente y derivar las reglas de Feynman, que es donde nosotros Estás acostumbrado a ver fotones virtuales. Si queremos calcular funciones de correlación ordenadas en el tiempo, digamos$\langle \text{T}\{\bar{\Psi}(x)\Psi (y)\}\rangle$usamos la integral de trayectoria:

$$\begin{align} \mathscr{Z}&=\int \mathscr{D}A\mathscr{D}\bar{\Psi}\mathscr{D}\Psi \ \bar{\Psi}(x)\Psi (y)\exp\left(i\int d^4x\ \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + i\bar{\Psi}\partial\!\!\!\big/\Psi + e\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi A_\mu \right)\\ &=\int \mathscr{D}A\mathscr{D}\bar{\Psi}\mathscr{D}\Psi \ \bar{\Psi}(x)\Psi (y)\exp\left(i\int d^4x\ \frac{1}{2}A_\mu\left(\partial^2\eta^{\mu\nu}-\partial^\mu\partial^\nu\right)A_\nu +i\bar{\Psi}p\!\!\!\big/\Psi + e\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi A_\mu\right) \end{align}$$ Una forma de derivar las reglas de Feynman es separar la pieza que no interactúa y luego expandir la exponencial$\exp(i\int d^4x \mathcal{L}_{int})$. Luego obtenemos una serie de integrales que parecen potencias de los campos multiplicadas por gaussianas de esos campos (la pieza que no interactúa en el exponente fijo). La integración de estos objetos término por término nos da los diagramas de Feynman. Explícitamente, $$\begin{align} \mathscr{Z}&=\int \mathscr{D}A\mathscr{D}\bar{\Psi}\mathscr{D}\Psi \ \bar{\Psi}(x)\Psi (y)\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(i\int d^4ze\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi A_\mu\right)^n\exp\left(i\int d^4x\ \frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + i\bar{\Psi}\partial\!\!\!\big/\Psi \right) \end{align}$$ El teorema de Wick nos dice cómo hacer estas integrales (el teorema de Wick es básicamente una forma elegante de decirnos cómo hacer integrales que parecen potencias multiplicadas por gaussianas). Un término genérico en esta serie se parece a $$\begin{align} \bar{\Psi}(x)\Psi (y)\left(i\int d^4we\bar{\Psi}(w)\gamma^\mu\Psi (w)A_\mu(w)\right)\left(i\int d^4ze\bar{\Psi}(z)\gamma^\nu\Psi (z) A_\nu(z)\right) \end{align}$$ veces la gaussiana. El teorema de Wick dice que para hacer esta integral "contraemos" cada uno$A_\mu(x)$con otros términos como$A_\nu(y)$, lo que nos da un factor$-i\eta_{\mu\nu}/(k^2+i\epsilon)$, y contratar operadores de fermiones de manera similar, recogiendo propagadores de fermiones. Luego integramos sobre las posiciones$w$y$z$, y obtenga el valor de ese término en la serie: este es un diagrama de Feynman. Los "fotones virtuales" se refieren a los objetos que provienen de campos de fotones que se contraen.$A_\mu(x)A_\nu(y)$, y están representados por líneas onduladas en los diagramas de Feynman. Por eso decíamos antes que el$\eta_{\mu\nu}/(k^2+i\epsilon)$término anterior juega el mismo papel que juegan los fotones virtuales en la serie de perturbaciones.

Ahora, la forma en que calculamos las amplitudes de dispersión es a través de la receta LSZ, que dice calcular las funciones de correlación y luego amputar las líneas externas, es decir, tomar los factores que obtuvo al contraer los términos como$\bar{\Psi}(x)\Psi (y)$entre sí, y luego reemplazarlos con algún factor (solo una constante si el campo es un escalar, algunos espinores si el campo es un electrón, estructura de polarización si el campo es un fotón, etc.).

Entonces, ¿cómo relacionamos el empaque de esta historia, en términos de dispersión/correladores, con la pregunta de si la interacción es repulsiva o atractiva? Bueno, si calculas la contribución principal a$e^+e^-\rightarrow e^+e^-$dispersión, y considera el límite no relativista, obtienes algo que básicamente se parece exactamente a lo que consideramos antes

$$\begin{align} e^2j^\mu(p)\frac{\eta_{\mu\nu}}{k^2+i\epsilon}j^\nu(p')\sim\frac{e^2}{|p-p'|} \times \text{stuff} \end{align}$$ donde no nos molestaremos en escribir explícitamente lo que$js$son. Nota la$\frac{\eta_{\mu\nu}}{k^2+i\epsilon}$es la línea virtual de fotones, y la$js$provienen de los estados inicial y final del electrón/positrón. Pero la principal contribución a la amplitud de dispersión en la mecánica cuántica no relativista viene dada por la regla de Born, que dice básicamente $$\begin{align} T_{p'p}=-\tilde{V}(q)(2\pi)\delta (E_f-E_i) \end{align}$$ dónde$T_{pp'}$es el elemento de matriz de la matriz de dispersión. Entonces, en comparación, vemos$\tilde{V}(p-p')=-e^2/|p-p'|$es decir, una atractiva interacción de Coulomb$^3$.

El resultado es que los fotones virtuales provienen de inserciones de propagadores de fotones y, como vimos en ambos ejemplos, no contienen información sobre las cargas de los fermiones. La atracción/repulsión provino del vértice electrón-fotón, es decir, el factor de$\pm e$debido al operador actual, es decir, lo que dice el hamiltoniano que se supone que debe hacer un fotón cuando se une a un fermión. El hamiltoniano dice que las cargas iguales se repelen y las cargas opuestas se atraen, y el hamiltoniano le dice al fotón virtual qué hacer.

El punto final al que debo volver es mi afirmación anterior de que$W[J]$de alguna manera refleja la energía asociada a la configuración$J$. Observe si tomamos la fuente como estática, entonces$e^{iW[J]}=\langle 0| e^{-iHT} |0\rangle =e^{-iET}$dónde$E$es la energía de las dos fuentes actuando una sobre la otra. Si tomas la expresión anterior para$W$en el espacio real, y deje que las fuentes sean estáticas, luego haga la integral de tiempo que obtendrá$E>0$, que es lo que buscábamos$^4$.

$^1$_{De hecho, si haces una transformación de Fourier de vuelta al espacio real, encontrarás que esta expresión es igual a la interacción de Coulomb.}

$^2$_{Por cierto, puedes ejecutar exactamente esta misma historia con la gravedad y descubrir que la gravedad es atractiva. Sin preocuparse demasiado por la forma exacta del lagrangiano para la gravedad, exigir que el propagador no tenga trazas, sea transversal e invariante de calibre le permite fijar su estructura en términos generales para que sea}

$$\begin{align} G_{\mu\nu,\lambda,\sigma}=\frac{\eta_{\mu\lambda}\eta_{\nu\sigma}+\eta_{\mu\sigma}\eta_{\nu\lambda}-\tfrac{2}{3}\eta_{\mu\nu}\eta_{\lambda\sigma}}{k^2+i\epsilon} \end{align}$$ donde nuevamente hemos hecho la elección de calibre más fácil. En lugar de acoplarse a una corriente vectorial$J^\mu$, el gravitón se acopla a una corriente de tensor, es decir, el tensor de impulso de energía$T^{\mu\nu}$, y dos bultos de energía/masa aparecen en el$T^{00}$componente del tensor de momento de energía. Ejecutando la misma historia a través de$W[T]$encontrará que las masas similares se atraen.

$^3$_{Véase, por ejemplo, la discusión en la página 125 de Peskin y Schroeder} .

$^4$_{Toda esta historia se explica (probablemente más claramente que yo) en el lindo libro de Zee "Teoría cuántica de campos en pocas palabras", en uno de los primeros capítulos.}

No hay ningún fotón virtual como entidad física aquí. No solo no se absorbe ni se emite, sino que no existe como algo físico. Es literalmente solo una línea en el diagrama de Feynman. Representa un estado intermedio "ficticio" que es distinto del estado real del sistema en cualquier momento, como argumento en esta respuesta sobre la relación entre partículas virtuales y estados intermedios. El fotón virtual no puede ser lo que "comunica" la carga de las partículas entre sí porque está ausente en una descripción no perturbativa (o incluso en una descripción perturbativa que no dibuja los diagramas, por lo tanto, no nos da la ondulación). línea para imbuir con la ontología de fotones).

En un giro de los acontecimientos bastante vergonzoso, no conocemos el espacio de estados para una teoría cuántica de campos interactuando arbitrariamente. Por el teorema de Haag , no es equivalente al espacio libre de estados en el que viven las partículas de las que nos gusta hablar. Los "electrones", los "positrones", los "fotones", viven en el límite de la teoría en la que están tan separados que pueden describirse efectivamente como no interactuando. Los espacios que interactúan son complicados: a veces se ven como el espacio libre, pero con diferentes masas, y a veces pueden no ser como un espacio Fock en absoluto, vea esta respuesta de yuggib . Sin embargo, QFT puede predecir el resultado de las interacciones siempre que ese resultadose describe efectivamente como libre nuevamente, de ahí el enfoque en la dispersión : una dispersión es un tipo de interacción donde un grupo de partículas libres se encuentran, hacen algo, y luego un grupo de partículas posiblemente diferentes vuelven a salir, separándose rápidamente.

Entonces, la cuestión de "cómo" las partículas que interactúan conocen las cargas de las demás se complica por el hecho de que ni siquiera tenemos una buena descripción del estado de las partículas cuando interactúan. Es posible que ni siquiera haya subentidades de "partículas" reconocibles en el estado de interacción, similar a cómo es difícil/imposible/lleno de peligros hablar sobre el estado de una sola partícula en QM ordinario cuando es parte de un estado entrelazado de múltiples partículas

La evolución temporal en las teorías cuánticas y, en particular, en las teorías cuánticas de campos, es una caja negra especificada formalmente por el lagrangiano (o hamiltoniano) de la teoría. Esto es suficiente para calcular predicciones sorprendentemente precisas de los resultados de las interacciones de tipo dispersión, y esto es mucho menos limitado de lo que podría pensarse a primera vista (cf., por ejemplo, las aplicaciones de QFT en la teoría de la materia condensada en oposición a los experimentos de alta energía). Pero esta caja negra no nos da una interpretación legible por humanos, ninguna historia de "cómo" ocurre la interacción.

Tal vez esto sea una deficiencia en nuestra teoría, una señal de que aún podemos hacerlo mejor. Pero tal vez sea un signo de una deficiencia en la naturaleza misma: no hay una razón convincente para que la naturaleza en el régimen cuántico deba comportarse de manera que pueda ser capturada por nuestras intuiciones y lenguaje natural que se formaron en un mundo que prima facie parece completamente clásico.

Como invitado, permítanme recopilar mis comentarios aquí. Estás pidiendo una "historia" metafórica, una caricatura de las matemáticas bien definidas involucradas. Feynman, en su popular libro , Figs 60,61 lo resuelve, pero permítanme analizarlo. Puede usar la metáfora popular de los botes en un lago, pero personalmente tengo problemas para visualizar una pelota lanzada impartiendo un impulso opuesto a su dirección de viaje...

Un fotón en sí mismo es solo un conducto de energía e impulso. En la dispersión Compton, donde solo está involucrado un fotón real, el electrón impactado y desviado no tiene idea de si los rayos X provienen de un átomo o de un antiátomo. Hace exactamente lo mismo.

Cuando dispersa electrones de electrones / positrones (puede tomar la partícula lábil de carga como μ+ o μ- para evitar diagramas cruzados) mediante el intercambio de solo un fotón virtual al orden más bajo, nuevamente, como puede ver trabajando las amplitudes , las respuestas son las mismas, excepto que las amplitudes generales difieren en un signo menos, como también se refleja en el potencial de Coulomb que calcularía en el límite suave de amplitud de Born . Es cuadrático en la carga, por lo que cambiará de signo dependiendo de la fuente (μ+ o μ-).

En cada diagrama, y ​​en cualquier vértice, el mismo tipo de fotón se acopla a partículas positivas y negativas, y se conservan la energía y el momento. La única peculiaridad de los fotones virtuales (internos) es que no son estados sin masa, pero ¿a quién le importa? Si solo miras las secciones transversales dependiendo de$e^4$, no debería ver ninguna diferencia. (Recuerde que la sección transversal de Rutherford no lee el signo de la carga nuclear).

En un diagrama de árbol de dispersión elástica, la cinemática es completamente fija. Si la e inicial y la μ están en reposo, como en tu visión, solo pueden intercambiar un fotón virtual de impulso cero y energía cero, ya que los productos salientes no pueden conservar energía y no estar en reposo. Su expectativa errónea de que los productos dispersos se moverán es un recordatorio de la traición de los principios de correspondencia mal aplicados.

Supongamos que les da momentos pequeños, y trabaja en el centro del momento, y se enfoca en la dispersión a 90° en ese marco. No esperarías comportamientos contrastantes, ¿verdad?

¡Realmente me gustó la pregunta y me confundió mucho! Después de estar confundido y pensando en ello durante mucho tiempo, quiero intentar dar una respuesta. ¡Léalo mientras hice todo lo posible para abordar la pregunta desde el punto de vista del autor de la pregunta!

No sé si tiene mucho sentido hablar de si los fotones virtuales son "reales" o no. Si el formalismo funciona, siempre hay alguna interpretación en la que sus elementos son "reales". En el popular libro de Feyman sobre QED , realmente considera que el proceso es una suma de todos los caminos entre los estados inicial y final, siendo las partículas intermedias "reales". En este enfoque, la amplitud para que el fotón virtual se propague desde$x$a$x'$es solo la función de Green para el fotón .

Considere el siguiente Lagrangiano clásico (muy esquemático) para partículas cargadas$\phi_1$,$\phi_2$interactuando con un fotón$A$. Ignore los factores de signos de 2 y la estructura del espacio-tiempo:

$$L \sim \dot \phi_1 ^2 + \dot\phi_2^2 \quad + \quad\dot A^2 + k^2 A^2 \quad + \quad e \,A \phi_1 - e\, A \phi_2$$

Fíjate que me junté$\phi_1$y$\phi_2$a$A$con signos opuestos porque tienen carga opuesta. Las ecuaciones de movimiento serán (esquemáticamente):

$$\ddot \phi_1 = e\, A,\qquad \ddot \phi_2 = -e\, A,\qquad \ddot A + k^2 A = e\,\phi_1 - e\,\phi_2$$

Resolviendo para$A$da, (otra vez esquemáticamente):

$$A(x) = e\int_{x'}G_k(x,x')\phi_1(x')-e\int_{x'}G_k(x,x')\phi_2(x')$$

dónde$G_k$es la función de green para$A$la ecuación diferencial de . Metiendo esto de nuevo en la ecuación para$\phi_1$y descuidando las interacciones con uno mismo, tenemos

$$\ddot \phi_1 = -e^2 \int_{x'}G_k(x,x')\phi_2(x')$$

Vemos eso$\phi_1$es conducido por$\phi_2$a través del "fotón virtual"$G_k$. También vemos que tiene un signo menos. Si$\phi_2$tuviera la misma carga, el término impulsor tendría el signo opuesto. Esto dice que las fuerzas de atracción y repulsión actúan de manera opuesta entre sí. En la práctica, solemos tomar$\phi_1$y$\phi_2$ser estados de onda plana,$e^{ipx}$, en cuyo caso lo que obtendremos es la transformada de Fourier de la función de Green. El momento del fotón virtual nos dice la transferencia de momento y no depende del signo de las cargas. Solo el signo general del "fotón virtual" (la función de Green multiplica los acoplamientos) depende del signo de las cargas.

¿Cuál es el problema con todo esto? El problema es que todo el mundo sabe que una amplitud de dispersión es proporcional al cuadrado de la amplitud . Entonces, ¿a dónde fue la señal? La verdad es que si dispersas un haz de electrones de un protón, obtendrás la misma señal que si dispersas un antiprotón. La dispersión ordinaria no puede distinguir entre un potencial atractivo y uno repulsivo.. La razón es que no hay forma de saber si una partícula en el haz se movía hacia la izquierda del objetivo y se dispersó hacia la derecha (atractiva), o si la partícula en el haz se movía hacia la derecha del objetivo y se dispersó hacia la derecha. se dispersó más a la derecha (repulsivo). La situación es simétrica. (Para las ondas planas, esto es aún más cierto porque llenan el espacio y, por lo tanto, nunca están a la izquierda o a la derecha unas de otras). En los diagramas de Feynman, dibujamos las partículas con un parámetro de impacto distinto de cero, pero las partículas son realmente chocando de frente, en promedio.

Para saber si una interacción es atractiva o repulsiva, en realidad necesitas la amplitud de dispersión . En la imagen de interacción:

$$\mathcal{A}\sim \langle \psi_f |\psi_i(t)\rangle \sim \langle \psi_f |e^{-i\int V dt}|\psi_i(0)\rangle \sim \langle \psi_f |\psi_i(0)\rangle - i\int dt \langle \psi_f |V(t)| \psi_i(0)\rangle\;+\;...$$

Cuando$\langle \psi_f |\psi_i\rangle$es distinto de cero (que debe ser para un proceso de desviación, es decir, los paquetes de ondas deben superponerse en el origen en$t=0$en la imagen de Schrödinger), entonces la probabilidad$P\sim |\mathcal{A}|^2$tendrá un término proporcional al signo de la función de Green. Este debe ser el término que le indica si el paquete de ondas se desvía hacia o lejos del objetivo.

Un buen libro sobre la dispersión es el libro de Taylor .

La dispersión de electrones de primer orden a baja energía se denomina dispersión de Moller .

La dispersión de baja energía de positrones de electrones de primer orden se denomina dispersión BhaBha .

Diferentes diagramas aportan y diferentes signos entran delante de las integrales .

(Tomé los diagramas de esta pregunta, que es diferente al tuyo pero está relacionado).