Corriente en alambre + relatividad especial = magnetismo

Suponga que comienza con una densidad de carga lineal$\lambda^+$de cargas positivas y$-\lambda^-$de cargas negativas en el alambre, todo en reposo.

Caso 1: Sin corriente, carga de prueba estacionaria

Supone que tiene un cable neutro sin corriente. Por lo tanto$\lambda^- = \lambda^+$. No hay otro marco que valga la pena considerar, ya que de todos modos nada está en movimiento.

Incluso si entrara en otro marco, cualquier cambio en la densidad de carga afectará a los electrones y los núcleos por igual. Por lo tanto, el cable es neutral en todos los marcos y las cargas de prueba no se ven afectadas por él.

Caso 2: Corriente distinta de cero, carga de prueba moviéndose con electrones

Ahora suponga que tiene un cable con corriente. Nuevamente, el cable es neutral en el marco del laboratorio.$S$, donde la mayor parte no se mueve. En este marco , todavía debemos tener$\lambda_S^- = \lambda_S^+$, aunque los electrones se muevan y los núcleos no.

Si nos deslizamos en el marco de descanso$S'$del movimiento masivo de electrones, entonces el espacio entre los electrones debe ser diferente y, de hecho, debe ser mayor. Dado que la carga no cambia al cambiar de cuadro, sabemos$\lambda_{S'}^- < \lambda_S^-$. De manera similar, el espaciamiento de los núcleos se contraerá en longitud, por lo que$\lambda_{S'}^+ > \lambda_S^+$. En este marco , pues,$\lambda_{S'}^+ > \lambda_{S'}^-$, por lo que el cable parece cargado positivamente, y cualquier carga de prueba (positiva) en reposo en este marco$S'$será repelido.

Como puedes comprobar, esto es exactamente lo que te dice la ley de fuerza de Lorentz. Si el movimiento de la masa de electrones está en el$-z$-dirección, entonces la corriente está en la$+z$-dirección, y el campo magnético a lo largo de la$+x$-eje (asumiendo que el cable coincide con el$z$-eje) está en el$+y$-dirección. Una carga positiva con velocidad en el$-z$-dirección en un campo magnético en el$+y$-dirección experimentará una fuerza en la dirección de$(-\hat{z}) \times (+\hat{y}) = +\hat{x}$, lejos del cable.

Caso 3: corriente distinta de cero, carga de prueba estacionaria

Ahora considere la configuración de la siguiente manera. En$S$, los núcleos y la carga de prueba están estacionarios, pero los electrones se mueven en el$-z$-dirección. Al igual que antes, podemos transformarnos en el marco de reposo de los electrones, donde encontraremos que el cable está cargado positivamente. Sin embargo , también tenemos que la carga de prueba se mueve en el$+z$-dirección en$S'$, y que hay una corriente de cargas positivas en el$+z$-dirección (que podríamos descuidar antes). Aquí la ley de fuerza de Lorentz completa nos dice que hay una$qE$repulsión, y también una$q \vec{v} \times \vec{B}$atracción, y de hecho se equilibran perfectamente en este marco, por lo que todavía no hay fuerza neta.

Resumen

El espacio entre los electrones se expande solo si te mantienes en su marco de reposo mientras los aceleras. El espacio medido por un observador que no acelera no cambia, de acuerdo con la suposición de que el cable permanece neutral en el marco del laboratorio. Solo puede usar la ley de Coulomb electrostática si está en el marco donde la carga de prueba de interés es estacionaria. Si está en un marco donde la carga aún se está moviendo, necesita la ley de Lorentz completa, utilizando cualquier campo eléctrico y magnético que esté presente en ese marco.

Respuesta corta: este tipo de exposición, y el video en particular, pasan por alto algunos de los detalles que complican la situación.

Verifiqué con la Sección 12.2 de Jackson ("Sobre la cuestión de obtener el campo magnético, la fuerza magnética y las ecuaciones de Maxwell a partir de la ley de Coulomb y la relatividad especial"). Creo que una declaración clave es: "Una suposición clave o hecho experimental es que en un marco K donde todas las cargas de la fuente producen y el campo eléctrico$\vec{E}$están en reposo , la fuerza sobre una carga [de prueba]$q$es dado por$\vec{F}=q \vec{E}$ independiente de la velocidad $\vec{u}$de la carga en ese marco".

Esta sección se refiere a: DH Firsh y L. Willets, Am. J. física. 24 574, (1956) y el capítulo 3 de Principios de electrodinámica de M. Schwartz McGraw-Hill, Nueva York (1972) como exposiciones más completas de esta forma de obtener las ecuaciones de Maxwell en el contexto de la relatividad especial.

Estoy luchando con el mismo problema, no puedo encontrar una respuesta. Pero hay algunas cosas que me di cuenta, tal vez ayuden a alguien más a encontrar la respuesta.

1. El movimiento relativo de electrones y núcleos está presente en un cable que transporta corriente. Eso solo debería dar diferentes densidades de carga en diferentes marcos.

2. La aceleración no debería ser necesaria para responder a esta pregunta.

3. Mover la carga en una dirección conduce a la atracción, pero moverla en la dirección opuesta provoca repulsión, y no moverse no genera fuerza.

4. La carga que se mueve más lento/a la misma velocidad/más rápido que los electrones que transportan la corriente solo aumenta la fuerza, no conduce a un cambio en la dirección de la fuerza. Si vas por veritasium, este punto no tiene respuesta.

A la explicación de Veritasium le falta algo seguro